Funkcje charakterystyczne

[Kokon89]

Witam !
Na jutro mam na zaliczenie rozwiązać zadanie. Niestety nie rozumiem totalnie nic (równie dobrze mogłoby być po koreańsku) z tego przedmiotu. Czy byłby ktoś w stanie pomóc ?

Wykorzystując metodę funkcji charakterystycznych rozwiąż następujące zadanie.
Niech Xi, i = 1, 2, . . . , n będą zmiennymi losowymi niezależnymi o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0, \sigma^{2})}\).

Zmienna losowa (statystyka):
\(\displaystyle{ S_n=\frac{X_1+...X_n}{\sqrt{n}}}\)

ma rozkład:

do wyboru są 4 odpowiedzi:

\(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,\sigma^2)}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,\frac{\sigma}{n})}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,\frac{\sigma^2}{n})}\)

Potrzebna jest odpowiedź z rozwiązaniem (uzasadnieniem wyboru). Jeśli będzie to pomocne to mogę zamieścić wykład i tablice funkcji charakterystycznych od prowadzącego. Czytałem to ale nadal nie wiem jak ugryźć to zadanie.

[pyzol]

Miałeś podane jak wygląda funkcja charakterystyczna dla rozkładu normalnego?

[Kokon89]

Dostałem tylko jakąś tablicę w pdf ale nie umiem z niej skorzystać. Nie wiem czy mogę tu to zamieścić ?

A funkcja charakterystyczna dla rozkładu normalnego ma postać:
\(\displaystyle{ \phi(t)=exp\left( i \mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right)}\)

[pyzol]

1. A \(\displaystyle{ \mu}\) ile wynosi?
2. Czy miałeś wzór jak wygląda funkcja charakterystyczna dla sumy zmiennych losowych?

[Kokon89]

1. W tej tabeli jest \(\displaystyle{ \mu=EX}\).
2. Jeżeli \(\displaystyle{ X_1,X_2,...,X_m}\) są zmiennymi losowymi niezależnymi to
\(\displaystyle{ \phi X_1 +..._+ X_m(t) = \phi X_1(t) ... \phi X_m(t)}\) dla \(\displaystyle{ t \in R}\)

[pyzol]

1. Ja wiem, ale w twoim przypadku \(\displaystyle{ \mu=0}\)
2. Skoro tak to przemnóż n funkcji charakterystycznych.
Spróbuj zapisać wynik w postaci jednej funkcji i napisz tutaj.

Został jeszcze jeden wzór z którego masz skorzystać.
Jak wygląda fkcja charakterystyczna zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=aX+b}\) przy znanej postaci dla z.m. dla \(\displaystyle{ X}\)

[Kokon89]

Niestety nie mam pojęcia jak to zrobić totalnie tego nie rozumiem. Nie rozumiem nawet podstaw statystyki. No może poza kombinatoryką jakąś prostą.

[pyzol]

\(\displaystyle{ \varphi_X (t)=e^{-\frac{\sigma^2 t^2}{2}}}\)
Teraz mamy sumę niezależnych zmiennych losowych o takim rozkładzie więc, korzystasz ze wzoru:
\(\displaystyle{ \varphi_{X_1+\ldots+X_n}(t)=\left( e^{-\frac{\sigma^2 t^2}{2}} \right )^n}\)
Teraz jeszcze jeden wzór do zastosowania, któego jeszcze nie podałeś.

[Kokon89]

A co to za wzór ? Może znajdę go gdzieś w tej tabelce.

[pyzol]

Jak wygląda fkcja charakterystyczna zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=aX+b}\) przy znanej postaci dla z.m. dla \(\displaystyle{ X}\)

[Kokon89]

\(\displaystyle{ \phi aX + b(t) = exp^{itb} \phi X(ta)}\)

[pyzol]

No to podstaw do tego co już mamy. b=0, więc zostanie Ci \(\displaystyle{ \varphi_{X}(ta)}\)
Ile wynosi a?

[Kokon89]

Jak to sprawdzić, gdzie odczytać ? Możliwe, że \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) ?

[pyzol]

Przecież mnożysz całą sumę przez \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}}}\) i to jest twoje a.

[Kokon89]

Racja, racja. Tylko, że nadal nie wiem jak wysnuć z tego wniosek jaki rozkład ma ta zmienna żeby odpowiedzieć na pytanie -- 15 maja 2011, o 19:49 --Przeglądam tą tabelę i wykład ale nic mi nie mówi to co już zostało napisane Pomoże ktoś ?