gra niesprawiedliwa (teoria gier)

[MichalKulis]

Wiem, że nie jest to najlepszy dział na to zagadnienie, ale uznałem, że teorii gier najbliżej właśnie do prawdopodobieństwa.

Problem jest taki:
czy jeśli mamy grę niesprawiedliwą (nasz zysk oczekiwany jest mniejszy od zera) to czy istnieje sposób na odnoszenie zysków w tej grze na długą metę?
Odpowiedź wydaje się być oczywista: Nie. Też tak uważam, ale dowodu nie potrafię przedstawić.
Można rozważyć tzw. systemy progresywne. Przykładowo systemy do ruletki: Martingale albo Labouchere. Ruletka jest oczywiście grą niesprawiedliwą (dla gracza - niekorzystną). Przy założeniu ograniczonych środków gracza, łatwo udowodnić, że Martingale jest niekorzystny. Tak samo - Labouchere - choć to już trudniej udowodnić. Kto jednak nas zapewni, iż nie istnieje żaden inny system gry, który mógłby przynieść zyski w grze niesprawiedliwej?

[Ciamolek]

Jeżeli istniałaby strategia wygrywająca do gry w ruletkę, to nie istniałby kasyna. Jak wiemy, kasyna istnieją. Sprzeczność. Koniec dowodu.

Wniosek: nie istnieje strategia wygrywająca do gry w ruletkę.

[Mistrz]

Jeżeli istniałaby strategia wygrywająca do gry w ruletkę, to nie istniałby kasyna.

W tym rozumowaniu jest błąd. Jeśli istniałaby strategia wygrywająca do gry w ruletkę, ale nikt by jej nie znał, to kasyna mogłyby dalej spokojnie istnieć

Co prawda nie znam się na rachunku prawdopodobieństwa, ale czy nie jest tak, że jeśli zysk oczekiwany z \(\displaystyle{ n}\)-tej gry oznaczymy przez \(\displaystyle{ a_n}\), to zysk oczekiwany po n grach jest \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} a_n}\) ? Jeśli tak, to skoro \(\displaystyle{ \forall_{n \in \mathbb{N}} \quad a_n<0}\), to ta suma też będzie ujemna, czyli, rozumiem przez to, że nie przynosi to zysków na dłuższą metę.

[MichalKulis]

Mistrzu,
też odnoszę takie wrażenie, że to jest poprawne uzasadnienie, ale nie jestem do tego w 100% przekonany.
Rozważ gracza o nieskończonym portfelu. Taki pan jest w stanie zarobić stosując dowolny system progresywny (bo może zakończyć każdą serię zakładów - każdy cykl w systemie). Zatem jest on na PLUS a z twojego rozumowania by wynikało, że jest na MINUS.
Możliwe, że to ja popełniam jakiś subtelny błąd logiczny w powyższym rozumowaniu ale nie jestem w stanie go uchwycić.

[Ciamolek]

Błąd: założenie, że istnieje nieskończony portfel u gracza.

[MichalKulis]

Co do gracza o nieskończonym portfelu, który gra Martingale w grę niesprawiedliwą: naszły mnie teraz wątpliwości czy mu się to opłaca. Bo popatrzmy tak:

każda seria zakładów w Martingale (którą kończy wygrany zakład) ma długość jakiejś liczby naturalnej dodatniej (1,2,3,...). Zatem mamy alef zero takich możliwych serii. Ale pozostaje jeszcze jedna seria: nieskończona seria przegranych zakładów (można to utożsamiać z nieskończonym ciągiem zer).

W takim razie każda skończona seria daje graczowi zysk w systemie Martingale ale ta jedna seria nieskończonych przegranych odbiera mu wszystkie środki wygrane i jeszcze więcej. Zatem na długą metę wydaje się, że nawet gracz o nieskończonym portfelu jest stratny!

Taki wniosek jest dość paradoksalny. No bo czy jeśli rzucamy przykładowo monetą to czy nie możemy założyć, że za którymś razem w końcu wypadnie orzeł? Praktycznie możemy tak założyć. Ale teoretycznie może nas spotkać nieskończony ciąg reszek (zajście takiego ciągu jest niezerowe mimo wszystko).

Zatem mamy paradoks i to jest chyba paradoks nieco w stylu paradoksu petersburskiego choć nie do końca taki sam.