Prawdopodobieństwo istnienia pierwiastków rzeczywistych

[Wojtolino]

Z odcinka [0,1] wybieramy losowo i niezależnie dwie liczby p i q. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że równanie \(\displaystyle{ x ^{2}+px+q}\) ma dwa sprzężone pierwiastki zespolone? Jakie, że 2 różne rzeczywiste?

Wiem tyle, że trzeba skorzystać ze wzorku na prawd. zd. niezależnych, ale nie mam pojęcia jak... Jedyne na co wpadłem, to umieszczenie punktów (p,q) w kwadracie jednostkowym, ale niebardzo to umiem ogarnąć. W odpowiedziach jest 11/12 i 1/12 (bo jak rozumiem pytają o pierwiastki zespolone, w których \(\displaystyle{ \Im z \neq 0}\)). Wzywam pomocy.

[maciejsporysz]

Z kwadratem bardzo dobrze. Do dwóch różnych pierwiastków rzeczywistej wystarczy by delta była dodatnia - \(\displaystyle{ p^2-4q>0}\). Zatem \(\displaystyle{ q< \frac{p^2}{4}}\). Stąd już bardzo blisko odpowiedzi. \(\displaystyle{ P(B)= \int_{0}^{1} \frac{p^2}{4} dp= \frac{p^3}{12} \left |_{0}^{1} = \frac{1}{12}}\).
Podobnie pierwsza część. Delta ujemna. Wynik \(\displaystyle{ \frac{11}{12}}\)

[Wojtolino]

Dobra, a czym jest zdarzenie B? Bo nie umiem takich rzeczy interpretować... Dla mnie x>y by było zdarzeniem, ale samo x? Bo tu zatrzymałeś się nad samym \(\displaystyle{ \frac{ p^{2} }{4}}\)

[maciejsporysz]

W treści zadania są dwie części - dwa sprzężone pierwiastki zespolone oraz dwa różne pierwiastki rzeczywiste? Myślałem, że to naturalne jest nazwać je odpowiednio jako A i B. No cóż skrót myślowy okazał się nie do pokonania. Co do drugiej części pytania.... czyż odpowiedź nie kryje się w treści

z odcinka [0,1] wybieramy losowo i niezależnie dwie liczby p i q

?

[Wojtolino]

A nasza \(\displaystyle{ \Omega}\) to ten kwadrat po prostu?

[maciejsporysz]

Dokładnie tak.