iloczyn wylosowanych liczb

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
darek20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 874
Rejestracja: 4 paź 2010, o 08:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wszedzie
Podziękował: 248 razy
Pomógł: 10 razy

iloczyn wylosowanych liczb

Post autor: darek20 »

Ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,..,abn-1, abn\}}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) to różne liczby pierwsze, \(\displaystyle{ n}\) jest naturalne dodatnie, losujemy kolejno \(\displaystyle{ k}\) razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Udowodnij, że prawdopodobieństwo tego, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez \(\displaystyle{ ab}\) wynosi \(\displaystyle{ 1-(1-\frac{1}{a})^k-(1-\frac{1}{b})^k+(1-\frac{1}{a})^k(1-\frac{1}{b})^k}\)
rubik1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 520
Rejestracja: 28 sty 2009, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 86 razy

iloczyn wylosowanych liczb

Post autor: rubik1990 »

Niech \(\displaystyle{ A=}\) iloczyn podzielny przez \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ B}\)- iloczyn podzielny przez \(\displaystyle{ b}\). Szukamy \(\displaystyle{ \mathbb{P}(A \cap B)=1-\mathbb{P}(A' \cup B')=1-\mathbb{P}(A')-\mathbb{P}(B')+\mathbb{P}(A' \cap B')}\). Zastanówmy się najpierw ile jest równe prawdopodobieństwo tego że przy losowaniu jednej liczby nie będzie ona podzielna przez liczbę pierwszą \(\displaystyle{ a}\). W naszym zbiorze wszystkich liczb jest \(\displaystyle{ abn}\), a podzielnych przez \(\displaystyle{ a}\) jest \(\displaystyle{ bn}\). Liczb niepodzielnych będzie więc \(\displaystyle{ abn-bn}\) czyli prawdopodobieństwo będzie równe \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{a}}\). Dalej już zadanie jest łatwe jeżeli zauważysz że losowanie każdej z \(\displaystyle{ k}\) liczb jest niezależne od pozostałych (bo losujemy ze zwracaniem)
ODPOWIEDZ