Losowanie trójek liczb

[nobuddy]

Proszę o pomoc z zadaniem:

Ukryta treść:    

Ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1;2;3;...;1000 \right\}}\) wybieramy zbiór A składający się z trzech elementów. Następnie oznaczamy je p, q, r zgodnie z zasada:
\(\displaystyle{ p>q>r}\)

Oraz ustalamy funkcje
\(\displaystyle{ f_{1}(A)=p}\)
\(\displaystyle{ f_{2}(A)=q}\)
\(\displaystyle{ f_{3}(A)=r}\)
Innymi słowy: \(\displaystyle{ f_{1}}\) przyporządkowuje danemu zbiorowi A wartość największego z jego elementów, \(\displaystyle{ f_{2}}\) pośredniego a \(\displaystyle{ f_{3}}\) najmniejszego.

Jaka jest najbardziej prawdopodobna (inaczej: średnia) wartość:
a) \(\displaystyle{ f_{1}}\)
b) \(\displaystyle{ f_{2}}\)
c) \(\displaystyle{ f_{3}}\)

W przypadku liczby \(\displaystyle{ f_{2}}\) na logikę będzie to 500,5 (mediana), a co do reszty - nie wiem. Zadanie to jest rozszerzoną wersją zadania z Konkursu o Diamentowy Indeks AGH 07/08 zad 7 (tam pada pytanie tylko z pkt b). Niestety na stronie konkursu nie znalazłem proponowanych rozwiązań...

Z góry dzięki za pomoc.

[adamglos92]

Niesamowicie ciekawe zadanie - a odpowiedź jest prostsza niż by się wydawało
podam ci przykład/podpowiedź:

- losujemy liczbę q
- liczba możliwości/kombinacji przy danym q:
\(\displaystyle{ S = (100-q)(q-1)}\)
oczywiście iloczyn musi być największy:) teraz myślę że wiesz jak rozwiązać to zadanie:)

[nobuddy]

\(\displaystyle{ S = (100-q)(q-1)}\)

Chyba miałeś na myśli 1000, nie 100 ;p

Dzięki za pomoc, wychodzi rzeczywiście 500,5 a że możliwości dla danego q rozkładają się symetrycznie (tzn liczby (500,5+q) oraz (500,5-q) mają ich tyle samo) to będzie to też średnia wartość...

Co do p i r to oczywiście z wyniku dla p można łatwo otrzymać dla r. Niestety nie wydaje mi się żeby dało się tak samo łatwo policzyć średnią wartość jak w wypadku q... Doszedłem do tego że dla danego p wychodzi ilość możliwości:
\(\displaystyle{ I=\frac{p(p+1)}{2}}\)

Na przykład dla p=3 wynik to 6 czyli trójki
\(\displaystyle{ (3, 1, 1)}\)
\(\displaystyle{ (3, 2, 1)}\)
\(\displaystyle{ (3, 2, 2)}\)
\(\displaystyle{ (3, 3, 1)}\)
\(\displaystyle{ (3, 3, 2)}\)
\(\displaystyle{ (3, 3, 3)}\)

Dalej próbowałem coś kombinować ale mi się nie udało... Ma ktoś jakieś pomysły?

PS: Cały czas nie jestem pewien czy ten temat nie powinien być w kombinatoryce...

[kristoffwp]

Ustalmy \(\displaystyle{ p}\).
Ile jest takich trójek, w których \(\displaystyle{ p}\) jest największa?
Jest ich \(\displaystyle{ {p-1 \choose 2}}\), dla \(\displaystyle{ p \ge 3}\) i \(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ p<3}\)
Jakie jest zatem prawdopodobieństwo, że zmienna losowa \(\displaystyle{ f(A)}\) przyjmie wartość \(\displaystyle{ p}\), zakładając że \(\displaystyle{ p \ge 3}\)?
\(\displaystyle{ P(f(A)=p)= \frac{ {p-1\choose 2} }{ {1000 \choose 3} }= \frac{3!(p-2)(p-1)}{2! \cdot 1000 \cdot 999 \cdot 998}}\)

Wartość oczekiwana będzie sumą:
\(\displaystyle{ \sum_{p=3}^{1000}(\frac{3!p(p-2)(p-1)}{2 \cdot 1000 \cdot 999 \cdot 998})}\)

Trochę mało precyzyjnie napisałem. Liczę zbiory, a nie trójki uporządkowane.

[nobuddy]

Sorry, mój błąd, zapomniałem że sam przecież napisałem że losujemy zbiory, więc liczby nie mogą się powtarzać. Dzięki za pomoc, po przeliczeniu tego co napisałeś wychodzi mi około 750,746... Dziwne że nie równe 750 no ale cóż ;p Z r będzie symetrycznie biorąc około 249,254.

[kristoffwp]

Sorry, mój błąd, zapomniałem że sam przecież napisałem że losujemy zbiory, więc liczby nie mogą się powtarzać. Dzięki za pomoc, po przeliczeniu tego co napisałeś wychodzi mi około 750,746... Dziwne że nie równe 750 no ale cóż ;p Z r będzie symetrycznie biorąc około 249,254.

A jak policzyłeś sumę? Przekształciłeś to jakoś sprytnie?

[nobuddy]

Niezbyt sprytnie... Wyciągnąłem wszystkie stałe i podzieliłem na sumy \(\displaystyle{ n^{3}}\) itd. a potem użyłem wzorów. Dało się to policzyć jakoś prościej?

PS: Dokładny wynik to \(\displaystyle{ 750\frac{3}{4}}\)

[6+x+%28x+-+1%29+%28%28x+-+2%29%2F%282+998+999+1000%29%29%2C+{x%2C+3%2C+1000}]