Listonosz losowo rozmieszcza 4 listy w 6 skrzynkach na listy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej dwa listy znajdą się w tej samej skrzynce?
oczywiście nasuwa się od razu aby skorzystać z prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego, mamy:
\(\displaystyle{ \left|\Omega \right|=6^{4}}\)
bo dla każdego listu mamy do dyspozycji 6 skrzynek, w takim razie zdarzenie \(\displaystyle{ A'}\) będzie zdarzeniem gdy każdy list trafia do innej skrzynki:
\(\displaystyle{ \left| A'\right| = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}\)
bo dla każdego następnego listu mamy do dyspozycji o jedną skrzynkę mniej, żeby żadne dwa nie trafiły do tej samej, koniec końców:
\(\displaystyle{ P(A)=1- \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}}\)
\(\displaystyle{ P(A)=1- \frac{5}{ 18} = \frac{13}{18}}\)
co gdy jednak na to nie wpadnę? albo będzie inny wariant w zadaniu, więcej listów i skrzynek, wtedy najprościej by było liczyć po kolei.. ale coś mi nie wychodzi, czegoś nie uwzględniam, próbowałem w ten sposób:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{ {4 \choose 2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 + {4 \choose 3} \cdot 6 \cdot 5 + {4 \choose 4} \cdot 6 }{6^{4}}}\)
a tłumaczyłem w ten sposób: jako że i listy i skrzynki są rozróżnialne to najpierw wybieram dwa z czterech listów które będą w tej samej skrzynce, potem dla nich jedną z sześciu skrzynek, a pozostałe dwa rozmieszczam podobnie jak w poprzedniej metodzie: \(\displaystyle{ 5 \cdot 4}\) tak aby się z żadnym listem nie spotkały,
następnie wariant gdy trzy listy w tym samym miejscu, znowu: wybieram trzy z czterech listów, jedną z sześciu dla nich skrzynek i jedną z pięciu dla czwartego listu, a na koniec oczywiście jest sześć takich sytuacji kiedy wszystkie cztery listy są w tej samej skrzynce..
ale coś tutaj nie gra, czegoś mi brakuje i chyba już z nadmiaru tych zadań nie widzę, otóż po policzeniu:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 1}{6^{3}} = \frac{141}{216}}\)
czyli za mało, gdzie błąd w liczeniu drugą metodą?
Listy w skrzynkach
-
- Użytkownik
- Posty: 1272
- Rejestracja: 8 sty 2011, o 18:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 295 razy
- Pomógł: 115 razy
Listy w skrzynkach
racja, uwzględniłem to i wszystko się zgodziło.. widzę że metoda z przeciwnego zdarzenia deklasuje tą drugą pod względem łatwości w obliczeniach i trudności w pomyleniu się.. dziękuję.