Danych jest n urządzeń. Każde podlega testowi w tym samym czasie. Długość działania każdego z nich jest modelowana rozkładem wykładniczym z parametrem \(\displaystyle{ \beta}\). Znajdź średni czas i wariancję, jaki upłynie zanim zepsuje się r urządzeń.
Nie mam pojęcia, jak to ugryźć. Proszę o pomoc.
Pozdrawiam,
Ciamolek
P.S. Zadanie tłumaczone z języka angielskiego - mam nadzieję, że zrozumiałe.
Rozkład wykładniczy
-
norwimaj
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Rozkład wykładniczy
A potrafisz to zadanie rozwiązać, gdy \(\displaystyle{ r=1}\)? Ja bym tak kombinował, żeby wykorzystać wynik dla \(\displaystyle{ r=1}\). Może w tym pomóc własność braku pamięci rozkładu wykładniczego.-- 20 kwi 2011, o 19:18 --Chociaż bardziej bezpośrednie podejście też powinno zadziałać. Mimo wszystko to wydaje mi się prostsze.
-
norwimaj
- Użytkownik
- Posty: 5101
- Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 1001 razy
Rozkład wykładniczy
Trzeba założyć, że urządzenia psują się niezależnie. Inaczej się nie da. Policzmy dystrybuantę:
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\min(X_1,\ldots,X_n)\le t)=1-\mathbb{P}(\min(X_1,\ldots,X_n)>t)=}\)
\(\displaystyle{ =1-\mathbb{P}(X_1>t)\mathbb{P}(X_2>t)\ldots\mathbb{P}(X_n>t)=\ldots}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{P}(\min(X_1,\ldots,X_n)\le t)=1-\mathbb{P}(\min(X_1,\ldots,X_n)>t)=}\)
\(\displaystyle{ =1-\mathbb{P}(X_1>t)\mathbb{P}(X_2>t)\ldots\mathbb{P}(X_n>t)=\ldots}\)