Losowanie kart

[czesiek029]

Witam. Mam takie zadanko.. Z talii 8 kart- czterech króli i czterech asów- wybieramy losowo dwie karty. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybrano 2 króle, jeśli wiemy, że:
a) wybrano co najmniej jednego króla
b) wśród wybranych kart jest czarny król
c) wśród wybranych kart jest król pik

Z prawdopodobieństwem warunkowym sobie jakoś poradzę, ale nie wiem jak obliczyć prawdopodobieństwo do tych trzech punktów.
Jeśli mamy talię kart i z nich losujemy np 5 to wiem jak rozpisać, a jak mam 4 króle i 4 asy..?
Jak policzyć prawdopodobieństwo, że wybrano 2 króle?

[mat_61]

Jeśli mamy talię kart i z nich losujemy np 5 to wiem jak rozpisać, a jak mam 4 króle i 4 asy..?
Jak policzyć prawdopodobieństwo, że wybrano 2 króle?

Wszystkie możliwe wybory to 2-elementowa kombinacja ze zbioru 8-elementowego. Jeżeli mamy wylosować 2 króle, to jest to 2-elementowa kombinacja ze zbioru 4-elementowego (bo mamy 4 króle z których mają być wybrane te 2)

[czesiek029]

Więc żeby policzyć prawdopodobieństwo, że wybrano dwa króle to trzeba podzielić tak? :
\(\displaystyle{ \frac{ {4 \choose 2} }{ {8 \choose 2} }= \frac{12}{56}}\)

I żeby policzyć prawdopodobieństwo, że wybrano co njamniej jendego króla to jak najlepiej?
Ja bym policzył tak samo, że nie wybrano żadnego króla: \(\displaystyle{ \frac{ {4 \choose 2} }{ {8 \choose 2} }}\) , bo liczność tego, że nie wylosowano króla to zostają 4 karty, z których 2 są losowane, więc \(\displaystyle{ {4 \choose 2}}\) i dzielimy przez liczność całego zbioru.. ja to tak rozumiem.. I teraz prawdopodobieństwo, że wylosowano co najminej jednego króla= 1-P(A) p(A)-.. że nie wylosowano żadnego króla..


wychodzi mi:
punkt b)
A- nie ma czarnego króla \(\displaystyle{ A= {6 \choose 2} , P(A)= \frac{ {6 \choose 2} }{ {8 \choose 2} }= \frac{15}{28}}\)
B- jest czarny król, \(\displaystyle{ P(B)=1-P(A)=1- \frac{15}{28}= \frac{13}{28}}\)

prawdopodobieństwo warunkowe:
\(\displaystyle{ P(2/B)= \frac{P(2 \cap B)}{P(B)}= \frac{ \frac{6}{28} }{ \frac{13}{28} }= \frac{6}{13}}\) W odpowiedziach jest \(\displaystyle{ \frac{5}{13}}\) więc co źle robię?
do punktu c) liczyłbym C=\(\displaystyle{ {4 \choose 1} \cdot {4 \choose 1}=16, P(C)= \frac{16}{28}}\)

[asiulkaaaa1]

Mógłby ktoś dokończyć? Bo też mam problem z tym zadaniem bo myślę podobnie jak kolega u góry jednak odpowiedzi są inne.

[mat_61]

Z tego co kolega napisał to trudno wywnioskować jaki jest jego sposób rozumowania.

Jeżeli korzystamy ze wzoru na p-stwo warunkowe, to w ogóle nie liczymy p-stwa zdarzenia A: wylosowanie dwóch króli (mój wcześniejszy post był "tylko" odpowiedzią na pytanie cześka029).

Przykładowo dla punktu b) mamy:

\(\displaystyle{ P(A/B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)

A: wylosowano dwa króle
B: wśród wylosowanych kart jest czarny król

Oczywiście \(\displaystyle{ |\Omega|=28}\).

\(\displaystyle{ (A \cap B)}\): wylosowano dwa króle i wśród jeden nich jest czarny, czyli albo jest jeden z dwóch czarnych króli i jeden z dwóch czerwonych (4 możliwości) albo dwa czarne króle (1 możliwość):

\(\displaystyle{ |(A \cap B)|=5}\)

B: wśród wylosowanych kart jest czarny król, czyli albo jest jeden z dwóch czarnych króli i jedna dowolna inna karta (12 możliwości) albo dwa czarne króle (1 możliwość):

\(\displaystyle{ |B|=13}\)

I teraz dla tych danych wystarczy wykonać odpowiednie obliczenia.

Analogicznie spróbuj zrobić dwa pozostałe przykłady.