Rachunek prawopodobieństwa

[Bijou]

bardzo proszę o pomoc, byłam pewna, że zadanie to jest banalne, ale jednak ciągle wychodzi mi zły albo nieprawdopodobny wynik...

Z grupy liczącej 30 osób (20 chłopców i 10 dziewcząt) wybieramy 5-osobową delegację. Liczba zarówno chłopców jak i dziewcząt musi być większa od zera. Oblicz prawdopodobieństwo, że w delegacji będą najwyżej 3 dziewczyny.

pomocy:(-- 10 kwi 2011, o 17:43 --udało mi się w końcu policzyć za pomocą kombinacji:) jednak czy mógłby ktoś objaśnić mi tok rozumowania w liczeniu "na piechotę", a nie za pomocą wzorów?

[loitzl9006]

Określmy liczbę możliwych delegacji \(\displaystyle{ \Omega}\) z kombinacji:

moc \(\displaystyle{ \Omega= {30 \choose 5} - {20 \choose 5} - {10 \choose 5}}\)

Od ogólnej możliwości wyboru 5 osób z 30 należy odjąć możliwości wybrania samych dziewczyn i samych chłopców.



\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie, że w delegacji będzie jedna, dwie lub trzy dziewczyny.

moc \(\displaystyle{ A= {10 \choose 1} \cdot {20 \choose 4} + {10 \choose 2} \cdot {20 \choose 3} + {10 \choose 3} \cdot {20 \choose 2}}\)

Rozważamy przypadki:
kolejno:
- jedna dziewczyna (1 z 10) i 4 chłopców (4 z 20),
- dwie dziewczyny (2 z 10) i 3 chłopców (3 z 20),
- trzy dziewczyny (3 z 10) i 2 chłopców (2 z 20),

Następnie, ze względu na to, że każdy z trzech powyższych przypadków spełnia zdarzenie \(\displaystyle{ A}\), należy dodać do siebie te przypadki.

i dopiero wtedy obliczamy
\(\displaystyle{ P = \frac{A}{\Omega}}\)

---------------
Chociaż (teraz dopiero się zorientowałem) można prościej podejść do tego zagadnienia, rozważając przypadek (jeden przypadek) nie spełniający zdarzenia \(\displaystyle{ A}\), a mianowicie wybierzemy cztery dziewczyny i jednego chłopca.

czyli \(\displaystyle{ {10 \choose 4} \cdot {20 \choose 1}}\)

i od mocy omegi odjąć \(\displaystyle{ {10 \choose 4} \cdot {20 \choose 1}}\) i mamy moc zdarzenia \(\displaystyle{ A}\) w ten sposób...

[Bijou]

bardzo dziękuję za odpowiedź!:) szczególnie za ten krótszy sposób:D nie przyszło mi to do głowy...