Kombinatoryka, Rachunek prawdopodobieństwa

[m4ster666]

Proszę o wytłumaczenie po kolei jak sie rozwiazuje te zadanka ) Z góry dziękuje.



2.W pudełku znajduje się 7 kul białych 2 niebieskie 1 czerwona. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Narysuj drzewko ilustrujące przebieg losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kul o różnych kolorach?

3.Spośród 30 uczniów pewnej klasy III chęć zdawania na maturze biologii zadeklarowało 50% uczniów, chemia – 40%, przy tym 20% uczniów wybrało oba przedmioty. Oblicz prawdopodobieństwo, ze losowo wybrany uczeń tej klasy będzie zdawał biologie lub chemie.

1.Rzucamy sześcienna kostka do gry.

A- Wyrzucona liczba oczek jest nieparzysta

B- Wyrzucona liczba oczek jest podzielna przez 3

C- Wyrzucona liczba oczek jest większa od 4

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń

a) A

b) B’

c) AuC’

d) AnBnC

4. Rzucamy 3 razy moneta. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że:

a) w 2 i 3 rzucie wylosujemy reszkę.

b) co najmniej raz wylosujemy orła

5. Wiadomo, że \(\displaystyle{ p(A)=0,5 p(b’)=0,6 p(A \cup B)=0,6}\)

Oblicz \(\displaystyle{ p(A \cap B) p(B’ \cap A) p(A \cup B’) p(A’ \cup B’)}\)

6.

a)ile liczb 3 cyfrowych możemy utworzyć ze zbioru 0,2,3,4,5 jeżeli cyfry nie mogą się powtarzać

b) Na ile sposobów możemy przestawić litery w słowie POPRAWKA.

c) w turnieju szachowym bierze udział 11 zawodników. Ile zostanie rozegranych partii jeżeli każdy zawodnik rozegra 1 partie z pozostałych uczestników.

d) Odtwarzamy w sposób przypadkowy 3 utwory z płyty zawierającej 15 utworów, które mogą/nie mogą się powtarzać. Ile jest zestawów.

[loitzl9006]

2.

AU

cb7837dad07727d7med.jpg (29.28 KiB) Przejrzano 305 razy

Zdarzenia sprzyjające podkreśliłem na zielono. Jest ich \(\displaystyle{ 6}\). Obliczając szukane prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P}\), wykonujesz działanie
\(\displaystyle{ P= \frac{7}{10} \cdot \frac{2}{9} + \frac{7}{10} \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{10} \cdot \frac{7}{9} + \frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9} + \frac{1}{10} \cdot \frac{7}{9} + \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{9}}\)

3.

\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie, że zdaje biologię
\(\displaystyle{ B}\) - zdarzenie, że zdaje chemię

\(\displaystyle{ A \cap B}\) - zdarzenie, że zdaje biol. i chemię

\(\displaystyle{ A \cup B}\) - zdarzenie, że zdaje biol. lub chemię (zakładam, że albo to, albo to - nie oba razem)

Wtedy

\(\displaystyle{ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)}\)

Jak tego nie rozumiesz, to narysuj sobie dwa zbiory, które mają część wspólną. Jeden zbiór to zdający biologię, drugi - chemię, natomiast część wspólna oznacza zdających oba przedmioty.

.....
do następnych napisz jakieś własne propozycje rozwiązania. Na forum sprawdzimy, czy są właściwe...

[m4ster666]

6.

a) \(\displaystyle{ 5 \cdot 4 \cdot 3=60}\)
b) \(\displaystyle{ 8!}\) czyli \(\displaystyle{ 40320}\)
c) moga sie powtarzac \(\displaystyle{ 15 \cdot 15 \cdot 15=3375}\)
nie moga sie powtarzac \(\displaystyle{ 15 \cdot 14 \cdot 13=2730}\)

4.
\(\displaystyle{ \Omega=8}\)
a)
\(\displaystyle{ A=2\\
P(A)= \frac{1}{4}}\)
b)
\(\displaystyle{ B=7\\
P(B)=\frac{7}{8}}\)

1.
a) \(\displaystyle{ \frac12}\)
b) \(\displaystyle{ \frac23}\)
c) \(\displaystyle{ \frac56}\)

Proszę o sprawdzenie

I prosze w tym 3 o podstawienie danych bo nie wiem co wstawic w \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\)

[loitzl9006]

6a - ok
6b - ok
to z płytami - ok

Zaś z tymi partiami szachowymi, to jeśli dobrze zrozumiałem chodzi o to, że zawodnicy grają systemem "każdy z każdym", to wychodzi mi \(\displaystyle{ 55}\) takich partii. Pewnie da się to opisać jakimś wzorem, ale można też sobie wyobrazić sytuację.

zad 1 jest w porządku

zad 4 też dobrze
przy 4d prawdopodobieństwo będzie równe \(\displaystyle{ 0}\), bo nie ma takiej liczby na kostce spełniającej jednocześnie warunki \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\), \(\displaystyle{ C}\).

5.

AU

7ece8d62c9d61605med.jpg (57.17 KiB) Przejrzano 305 razy

Jest taka zasada:

\(\displaystyle{ P(A) + P(A') = 1}\)

\(\displaystyle{ P(B) + P(B')=1}\)

czyli

\(\displaystyle{ P(A')=0.5}\)

\(\displaystyle{ P(B) = 0.4}\)

gdzie zdarzenie ze znakiem \(\displaystyle{ '}\) oznacza zdarzenie przeciwne.

A' to zdarzenie, które spełnia warunek \(\displaystyle{ B}\) i jednocześnie nie spełnia warunku \(\displaystyle{ A}\)

B' to zdarzenie, które spełnia warunek \(\displaystyle{ A}\) i jednocześnie nie spełnia warunku \(\displaystyle{ B}\)

Jest zauważalne podobieństwo do działania na zbiorach, czyli
\(\displaystyle{ A'=B \setminus A}\)
\(\displaystyle{ B'=A \setminus B}\)

Wiedząc, co to jest A, A', B, B', możesz sobie znajdywać na rysunku, a potem obliczać części wspólne i sumy różnych zbiorów...

[pyzol]

Co do 6a, to jest mały problem z zerem na początku. Ja bym jeszcze odjął 3*4 możliwości, gdzie ono się pojawia.

[loitzl9006]

słuszna uwaga, nie zauważyłem tego...

[pyzol]

Jeśli chodzi o 6b, to też można zinterpretować trochę inaczej, że zamiana litery A z A to raczej żadna zamiana, także można by było jeszcze podzielić przez \(\displaystyle{ 2!\cdot 2!}\)

[loitzl9006]

dokładnie tak jak piszesz. Jest \(\displaystyle{ \frac{8!}{2! \cdot 2!}}\) sposobów przestawienia liter.

[pyzol]

A jeśli chodzi o 6 c, bo tak jakoś mi się powoli to czyta to z 11 zawodników wybieramy 2, czyli:
\(\displaystyle{ {11 \choose 2}}\).
Możemy też skorzystać ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego.
Pierwszy zawodnik 10 partii drugi 9 (nie wliczamy już partii z pierwszym), itd. Jakby na to nie patrzeć wyjdzie 55.

[m4ster666]

Aha, dziękuje bardzo;) Mogłby mi ktos to all ogarnac i wyslac w 1 poscie, poklei ??=**

[olkuska]

Witam! Potrzebuję rozwiązań, a także sposobów, jak zrobić krok po kroku, do poniższych zadań.
Będę bardzo wdzięczna za pomoc!!


Zad.1. Jesteś pracownikiem banku decydującym o przyznawaniu kredytów. Twój model oceny zdolności kredytowej zastosowany do klienta niewypłacalnego wskazuje poprawnie aby nie przyznawać kredytu w 90% przypadków. Natomiast zastosowany do osoby wypłacalnej, błędnie wskazuje aby nie przyznawać kredytu w 5% przypadków. Przyjmuje się, że odsetek osób niewypłacalnych wśród potencjalnych klientów wynosi 3%.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że model oceni losowego klienta jako niewypłacalnego?
Model wskazał na przyznanie kredytu, jakie jest prawdopodobieństwo, że klient nie spłaci kredytu?


Zad.2. Spośród 20 studentów, podchodzących do egzaminu z rachunku prawdopodobieństwa 8 jest nieprzygotowanych. Prowadzący wybiera losowo 3 osoby bez zwracania. Niech zmienna losowa X oznacza liczbę osób nieprzygotowanych.

Podać rozkład zmiennej losowej X.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszyscy wylosowani studenci będą przygotowani?


Zad.3. W urnie znajduje się 15 kul czerwonych oraz 5 zielonych. Losujemy 4 kule ze zwracaniem.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy nie więcej niż 1 kulę zieloną?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kulę czerwoną dopiero za 3 razem?


Zad.4. Rozkład dochodów na osobę jest rozkładem normalnym ze średnią 3,5 tys. Zł i odchyleniem standardowym.

Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba uzyska dochód pomiędzy 2200 zł i 2900 zł.
Co najmniej ile zarabia osoba należąca do 10% najlepiej zarabiających mieszkańców?


Zad.5. Gęstość zmiennej losowej X zadana jest wzorem: f(x)={█(3x^2 dla 0≤x≤1@0 poza tym)┤
Wyznaczyć dystrybuantę.
Obliczyć wartość oczekiwaną.
Obliczyć prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną wartości nie większej niż 0,4.


Zad.6. Rozkład częstości wektora losowego (X,Y) jest następujący:

y_j
x_i 1 2
-1 0,05 0,2
0 0,1 0,35
2 0,1 0,2

Czy zmienne X i Y są niezależne?
Obliczyć P(X=2│Y=2), P(X≥0,Y=1), P(-1<X≤2), E(X│Y=1), D^2 (Y).


Zad.7. Obliczyć rozkład warunkowy f(x│y), gdy rozkład łączny ma postać: f(x,y)={█(4xy dla 0<x<1,0<y<1@0 poza tym)┤