wartości oczekiwanie - nierówności

[xirusss]

Zad 1.
Pokazać, że jeśli 0<p<q to:

\(\displaystyle{ (E|X| ^{p})^{ \frac{1}{p} } \le (E|X| ^{q})^{ \frac{1}{q} }}\)

Zad 2.
Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ EX \ge 0,0 \le E|X| ^{2}< \infty ~a \in [0,1]}\) to:

\(\displaystyle{ P(X > aEX) \ge (1-a)^{2}\frac{(EX)^{2}}{EX^2}}\)

Liczę na wsparcie

[Kamil_B]

Wskazówki:

Zad. 1

Ukryta treść:    

Nierówność Holdera dla zmiennych losowych \(\displaystyle{ \left| X \right|^{p}}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\) z wykładnikami, odpowiednio, \(\displaystyle{ \frac{q}{p}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{q}{q-p}}\)

Zad. 2

Ukryta treść:    

Zauważ, że \(\displaystyle{ EX=E(X \cdot 1_{\{X>aX\}}) + E(X \cdot 1_{\{ X \le aX \}})}\)

Ukryta treść:    

Do pierwszego wyrażenia po prawej stronie równości z poprzedniej wskazówki zastosuj nierówność Schwarza. Drugi składnik oszacuj korzystajac z tego, że masz tam indykator \(\displaystyle{ \{X \le aX \}.}\)

Ukryta treść:    

Teraz już tylko daj odpowiednie składniki na jedną stronę i podnieś obustronnie do kwadratu.