Dwa zadanka, ze studiów, trudniejsze

pawelodi · Post autor: **pawelodi** » 5 kwie 2011, o 19:31

1)
Wykonujemy ciąg rzutów (nieskończony) monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że seria dwóch orłów pojawi się wcześniej niż seria trzech reszek.

2)

Niech \(\displaystyle{ A_{n}= {(x,y) : \left| x\right| \le 1 , \left| y\right| \le 1 }}\) obrócony o kąt\(\displaystyle{ 2\pi*n* \alpha , \alpha}\)należy do R.

Wyznacz granicę górną i dolną gdy\(\displaystyle{ \alpha}\) należy do wymiernych i gdy nie należy do wymiernych,
kiedy istnieje i jak wygląda lim A_{n} (po n) i dla jakich \(\displaystyle{ \alpha ?}\)

ważniejsze to pierwsze zadanie ;p

Errichto · Post autor: **Errichto** » 5 kwie 2011, o 19:37

Może pomóc to:
... dwumianowy
ale pewny nie jestem.

pawelodi · Post autor: **pawelodi** » 5 kwie 2011, o 19:45

No wzór niby pamiętam z liceum, ale jak "wsadzić" tam to, że seria jedna jest przed drugą to nie mam pojęcia...

Bo trzeba obliczyć prawdopodobieństwo wypadnięcia 3 reszek, pod warunkiem, że już wypadły 2 orły...
A - wypadnięcie 3 reszek
B - wypadnięcie 2 orłów

i szukamy P(A|B)..

no to P(B) łatwo policzyć, ale P(AnB) nie mam pojęcia ;p-- 5 kwi 2011, o 23:03 --anyone? ;/

Errichto · Post autor: **Errichto** » 6 kwie 2011, o 20:52

Zadanie jest równoważne policzeniu prawd.-a na 2 orły przy braku jakichkolwiek serii wcześniej.
Chcemy mieć:
ORORORRORORORROO
Co możemy też zapisać:
O|RO|RO|RRO|RO|RO|RR|OO
Należy więc porozpatrywać podkreślone - początek i końcówka, a poza tym kwestia podzielenia ciągu o jakiejś długości na fragmenty 2- i 3-elementowe (RO i RRO).

To taki pomysł, niekoniecznie fantastyczny, ale jest. Mam nadzieję, że już widać, że da się to zapisać w postaci jakiejś (skomplikowanej być może) sumy ale zapewne ładnie się zwinie. Może nawet wzorek na to znajdziesz (bez sumy).

pawelodi · Post autor: **pawelodi** » 6 kwie 2011, o 22:13

Ja to nawet nie wiem, co tu będzie A i B ;p

Bo chcemy policzyć P(A|B)

czyli A pod warunkiem B
czyli

A- wypadnięcie w "n" rzutach 3 reszek ?
B - wypadnięcie w "k" rzutach 2 orłów gdzie k<n ? ;/

Errichto · Post autor: **Errichto** » 7 kwie 2011, o 08:54

Err pisze:Zadanie jest równoważne policzeniu prawd.-a na 2 orły przy braku jakichkolwiek serii wcześniej.

Nie myśl tak schematycznie. Trzeba policzyć prawd. na 2 orły bez jakichkolwiek serii. Bo wiadomo, że w nieskończonym ciągu kiedyś się trafią 3 reszki.

pawelodi · Post autor: **pawelodi** » 7 kwie 2011, o 09:53

Czyli B- wypadnięcie serii 2 orłów w n rzutach ?

Czyli Omega = \(\displaystyle{ 2^{n}}\)

a w B, wybieramy 2 miejsca koło siebie z "n" rzutów, na (n-1) sposobów i mnożymy razy 2, bo obojętnie czy będzie OROROROR....OO czy RORORORO....OO ?

Errichto · Post autor: **Errichto** » 7 kwie 2011, o 10:11

Jeśli chcesz tak to rozpatrywać to musisz przyjąć \(\displaystyle{ n= \infty}\)
Ja bym powiedział, że będzie to suma po \(\displaystyle{ n}\) prawdopodobieństw na 2 orły rozpoczęte w n-tym rzucie (1. orzeł w n-tym, 2. orzeł w n+1-wszym) bez jakichkolwiek serii wcześniej.
\(\displaystyle{ | \Omega|=2 ^{n+1}}\)
Co możemy mieć?

Ukryta treść:

Szukamy zatem \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{D(n-2)+2 \cdot D(n-3)+D(n-4)}{2 ^{n+1} }}\) gdzie \(\displaystyle{ D(k)}\) oznacza ilość możliwych podziałów ciągu o długości \(\displaystyle{ k}\) na fragmenty o długościach \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 3}\).

Powtarzam, że to tylko moja propozycja. Istnieje pewnie rozwiązanie szybsze i łatwiejsze, ale przydałoby się je zauważyć.

pawelodi · Post autor: **pawelodi** » 7 kwie 2011, o 14:59

no rozumiem a Co z p(AnB)?

Errichto · Post autor: **Errichto** » 7 kwie 2011, o 15:12

Errichto pisze:
Err pisze:Zadanie jest równoważne policzeniu prawd.-a na 2 orły przy braku jakichkolwiek serii wcześniej.
Nie myśl tak schematycznie. Trzeba policzyć prawd. na 2 orły bez jakichkolwiek serii. Bo wiadomo, że w nieskończonym ciągu kiedyś się trafią 3 reszki.

Co się tak uparłeś na to \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\)? Pokazałem Ci, jak to zadanie można zrobić. Na pewno da się też inaczej - masz wolną rękę. Tylko po co tak się zadręczasz, by koniecznie wykorzystać ten iloczyn?

pawelodi · Post autor: **pawelodi** » 7 kwie 2011, o 19:37

a czemu tak dziwnie sie dzieli te ciagi w rozwinieciu naszych opcji ? ;/

|RO|RRO|RO|RO|...|RRO|R|OO
Czyli podzielenie ciągu o długości n-2 na 2- i 3- elementowce
|RO|RRO|RO|RO|...|RRO|RR|OO
Dzielenie ciągu o dł. n-3
O|RRO|RO|...|RO|R|OO
O długości n-3
O|RO|RRO|...|RO|RR|OO
O dł. n-4

tego nie rozumiem w ogole... i na koncu w wyniku chyba pomyliles jedno "n-4" na "n-2"

Errichto · Post autor: **Errichto** » 7 kwie 2011, o 19:44

i na koncu w wyniku chyba pomyliles jedno "n-4" na "n-2"

Rzeczywiście, już poprawiam.

W sumie nie wiem co tu jest do tłumaczenia... Chcemy mieć na końcu 2 orły i w środku żadnych serii. Czyli środek jest zbudowany z RRO i RO (innych opcji nie ma, by byłaby seria) - musimy tylko dodatkowo rozważyć co może się dziać na początku i na końcu. I są takie właśnie 4 opcje.

pawelodi · Post autor: **pawelodi** » 8 kwie 2011, o 13:42

Już rozumiem, pokazałem zadanie mojemu nauczycielowi i niby powiedział ok, ale nie był zadowolony z tej sumy... powiedział, że będzie trudno ją zsumować ;p

Jakieś pomysły jak to zrobić ?