Kompleksowe rzuty kośćmi 10 ściennymi

[Indoctrine]

Witam

Mam pewien niewielki problem, którego nie za bardzo umiem poprawnie ugryźć.

Otóż, jest od 1 do 8 kostek 10 ściennych.

Założenie jest takie, że rzut zwany "sukcesem", oznacza wyrzucenie więcej niż określona wcześniej wartość, NA PRZYNAJMNIEJ JEDNEJ (nie wszystkich!) kostce.

A więc, mam kostkę 10 ścienną, rzucam nią i wypada jakiś wynik. Interesują mnie dla 1 serii wyniki od 6 do 10. Tu mamy sprawę prostą, jest to 50%.

Teraz, dodaję drugą kostkę. Założenie to samo, wynik od 6 wzwyż, NA KTÓREJKOLWIEK kostce.

Jakie będzie prawdopodobieństwo wyrzucenia na przynajmniej jednej kostce od 6 w górę?

Następnie, dodajemy kolejną kostkę, i mamy już trzy. I znowu potrzebujemy aby chociaż na jednej było od 6 wzwyż.. I tak aż do ośmiu kostek.

Kolejne założenie, to zwiększanie stopnia trudności, czyli interesuje nas wynik od 7 wzwyż, potem od 8, 9 i 10.


Pytanie moje, jak to ugryźć?

Wynikowo, interesuje mnie, mieć tabelkę:

Prawdopodobieństwo sukcesu
Stopień trudności 1 kostka 2 kostki 3 kostki 4 kostki 5 kostek 6 kostek kolejne kostki
6..........................50%
7......................... 40%
8......................... 30%
9......................... 20%
10........................10%

[Errichto]

Bardzo prosto jest policzyć prawd. na zd. przeciwne.
Powiedzmy 7 kostek 10-ściennych z warunkiem - co najmniej 5 na jakiejś kostce.
Zdarzenie przeciwne to co najwyżej 4 na wszystkich kostkach.
Prawd. na co najwyżej 4 na jednej kostce to \(\displaystyle{ 0,4}\), na dwóch to \(\displaystyle{ 0,4^2}\), ...
Czyli prawd. na zd. przeciwne to \(\displaystyle{ 0,4^7}\).
Zatem wynik to \(\displaystyle{ 1-0,4^7}\).-- 4 kwi 2011, o 14:08 --Powiedzmy, że chcesz co najmniej 8 na jakiejś kostce (prawd. na co najwyżej \(\displaystyle{ 7}\) to \(\displaystyle{ 0,7}\)):
P(ilość kostek)=wynik
\(\displaystyle{ P(1)=1-0,7\\P(2)=1-0,7^2\\P(3)=1-0,7^3\\P(4)=1-0,7^4}\)

[Indoctrine]

Bardzo dziękuję, działa dobrze

A teraz jeszcze jedno pytanie do tego.

Stopnie trudności i liczba kostek, zostaje po staremu. Zwiększamy jednak ilość KONIECZNYCH sukcesów.

Czyli na przykład dla czterech kościach, chcemy wyrzucić przynajmniej dwa razy siedem albo więcej.

[Errichto]

Schemat Bernoulliego (jeśli nie znasz to podręcznik / internet).
10 kości, co najmniej 7 razy wyrzucamy minimum 4 oczka (prawd. \(\displaystyle{ 0,7}\) przy jednym rzucie).
\(\displaystyle{ {10 \choose 7} \cdot 0,3^3 \cdot 0,7^7+ {10 \choose 8} \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^8+ {10 \choose 9} \cdot 0,3^1 \cdot 0,7^9+ {10 \choose 10} \cdot 0,3^0 \cdot 0,7^{10}}\)
Czyli [prawd. na dokładnie 7 rzutów powyżej 4 oczek]+[prawd. na dokładnie 8 takich rzutów]+...
Można krócej zapisać w postaci sumy (za pomocą sigmy).