Prawdopodobieństwo- zawody taneczne

[Damieux]

Do zawodów tanecznych zgłosiły się cztery małżeństwa, jednak dobór partnerów w konkursie jest losowy. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia:
a) w konkursie nie tańczy żadna para małżonków
b) w konkursie tylko w dwóch parach tańczą małżonkowie
c) w konkursie tańczą tylko pary małżonków

[adambak]

Jest \(\displaystyle{ 8}\) osób, po \(\displaystyle{ 4}\) z każdego rodzaju płci.. ustawmy sobie w rządku mężczyzn, w takim razie kobiety możemy im przyporządkować do pary na:

\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|=4! =24}\)

sposobów, teraz się zastanówmy jak z tymi sytuacjami:

a)
\(\displaystyle{ A}\)- zdarzenie losowe, w konkursie nie tańczy żadna para małżonków, w takim razie muszą tańczyć w zupełnym 'nieporządku', żadna partnerka nie może być na swoim miejscu - tańczyć ze swoim partnerem, w takim razie takich sytuacji będzie ile nieporządków zbioru czteroelementowego, czyli podsilnia z 4

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{!4}{4!}= \frac{9}{24}= \frac{3}{8}}\)

b)
\(\displaystyle{ B}\)- zdarzenie losowe, w konkursie tylko w dwóch parach tańczą małżonkowie
skoro w dwóch parach tańczą małżonkowie, to pozostałe dwie muszę tańczyć w nieporządku - zamienić się partnerami, a więc najpierw wybierzemy \(\displaystyle{ 2}\) pary z \(\displaystyle{ 4}\) które będą tańczyć w tym porządku, i zostają nam dwie pary a więc \(\displaystyle{ 1}\) możliwa sytuacja, żeby nie tańczyły one w porządku, gdyż już wybraliśmy te które tańczą w porządku - więcej nie może być, bo mają być dokładnie dwie pary małżonków tańczących, mamy:

\(\displaystyle{ P(B)= \frac{{4 \choose 2} }{24} = \frac{1}{4}}\)

c)
\(\displaystyle{ C}\)- zdarzenie losowe, w konkursie tańczą tylko pary małżonków

z pośród możliwych ustawień jest tylko jedna taka sytuacja że tańczą ze sobą w parach same małżeństwa (nie ma innego takiego porządku)

\(\displaystyle{ P(C)= \frac{1}{24}}\)

[Damieux]

będzie ile nieporządków zbioru czteroelementowego, czyli podsilnia z 4

,
nigdy nie słyszałem o podsilni, co to znaczy?

[adambak]

podsilnia z \(\displaystyle{ n}\) - zapisujemy \(\displaystyle{ !n}\) liczba nieporządków zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego (czyli tak jakbyśmy mieli liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\) na miejscach o indeksach które są liczbami właśnie od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\) to każdą liczbę wstawiamy na indeks który jest różny od jej wartości. Bardziej życiowo: mamy \(\displaystyle{ n}\) listów i \(\displaystyle{ n}\) odpowiadających im kopert (w sensie zaadresowania) \(\displaystyle{ !n}\) to liczba takich wariacji że żaden list nie jest w odpowiadającej mu kopercie), obliczamy:

\(\displaystyle{ !n = n! \cdot (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + ... +(-1) ^{n} \cdot \frac{1}{n!} )}\)

ale nic dziwnego że nie słyszałeś, ja w szkole też nie słyszałem, raczej to było żeby zaciekawić, co chyba mi się udało

pomyślę jak to zrobić prościej, bez podsilnii, bo napewno się da na naszym poziomie to zrobić..

-- 30 mar 2011, o 22:14 --

myślałeś czy może jakieś drzewko nie załatwia sprawy w podpunkcie a) ? pytam, bo sam nigdy z drzewek nie korzystałem, zawsze uczono mnie tylko liczyć takie rzeczy, ale tutaj tak łatwo policzyć się chyba nie da i z tego co wiem (a raczej niewiele) to chyba drzewko by pasowało..

[norwimaj]

Z czystej ciekawości chciałbym wiedzieć, czy wzór włączeń i wyłączeń pojawia się w szkole, czy nie. Ze wzoru tego można łatwo wyprowadzić powyższy wzór na liczbę nieporządków. Przyjmujemy \(\displaystyle{ A_i=\{\sigma:\sigma(i)=i\}}\).

\(\displaystyle{ \left|\left(\bigcup_iA_i\right)'\right|=
\left|\Omega\right| - \sum_{i_1}\left|A_{i_1}\right| + \sum_{i_1< i_2}\left|A_{i_1}\cap A_{i_2}\right| - \ldots = \ldots}\).



Za pomocą jakiegoś drzewka pewnie się da to zadanie rozwiązać, ale sądzę, że będzie to trochę dłuższe niż zwykłe wypisanie wszystkich możliwości.


W miarę łatwo można to zadanie zrobić poprzez zastanowienie się, jak wyglądają permutacje, o które nam chodzi. Są to albo permutacje składające się z dwóch cykli dwuelementowych, albo permutacje będące cyklami czteroelementowymi. Tych pierwszych jest tyle, ile podziałów \(\displaystyle{ 4}\)-zbioru na dwa \(\displaystyle{ 2}\)-podzbiory, czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2}\binom{4}{2}=3}\). Tych drugich jest \(\displaystyle{ 3!=6}\).

[adambak]

Osobiście nie spotkałem się ze wzorem włączeń i wyłączeń, a przynajmniej nie w takiej formie. Faktem jest jednak (wiem to z obserwacji), że często różni nauczyciele mają bardzo różne koncepcje przerabiania prawdopodobieństwa. Ja na przykład nie miałem schematu Bernoulliego - tzn. nie miałem wprowadzonej takiej nazwy i definicji, ale robiłem niekiedy bardzo trudne zadania i często zadania na to, nie wiedząc że taki schemat istnieje. Poza tym na przykład nigdy nie miałem wprowadzonych pojęć: prawdopodobieństwo warunkowe, zdarzenia niezależne i nie wiem co jeszcze.. Te rzeczy są niby w naszej karcie wzorów, ale nie wiem w takim razie czy są potrzebne. Tak czy siak ja nie narzekam - nie spotkałem się jeszcze z potrzebą stosowania tych pojęć pisząc próbne matury czy rozwiązując przykładowe maturalne zadania, a nawet niekiedy jeszcze trudniejsze..



Co do drzewka - właśnie je narysowałem i pewnie na poziomie licealnym to zadanie jest w ten sposób najłatwiej 'robialne' (choć drzewka też nie miałem, radziłem sobie inaczej - co ważne też dobrze). Nie wychodzi tak dużo rysowania, zacząłem od przyporządkowania pierwszemu mężczyźnie kobiety do pary w tańcu i od tego drzewko możliwości reszty par - co ciekawe wyszły tylko trzy gałęzie. W takim razie nawet nie trzeba reszty sytuacji rysować (kiedy pierwszy mężczyzna ma inną partnerkę). A więc mnożymy przez trzy i mamy te dziewięć sytuacji. Mamy co chcieliśmy, jest dobrze, aczkolwiek osobiście nie lubię takich metod, jakieś takie.. mało matematyczne..



Zainteresowało mnie co piszesz o tych permutacjach - mógłbyś to jakoś ciutkę bardziej rozwinąć? Co oznaczają cykle dwu i czteroelementowe? Bo chyba to jest najładniejszy sposób, aczkolwiek nie do końca go rozumiem..

[norwimaj]

Niech \(\displaystyle{ a_1,\ldots a_k}\) będą różnymi elementami. Cykl \(\displaystyle{ (a_1,a_2,a_3,\ldots a_k)}\), to jest taka permutacja \(\displaystyle{ \sigma}\), że

\(\displaystyle{ \sigma(a_i)=a_{(i \bmod k) + 1}}\),

\(\displaystyle{ \sigma(b)=b}\) dla \(\displaystyle{ b\not\in\{a_1,\ldots a_k\}}\),

czyli element \(\displaystyle{ a_1}\) przechodzi na \(\displaystyle{ a_2}\), \(\displaystyle{ a_2}\) przechodzi na \(\displaystyle{ a_3}\) itd.

Każdą permutację da się przedstawić jako złożenie rozłącznych cykli, na przykład

\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccccc}1&2&3&4&5\\2&1&5&4&3\end{array}\right)=(1,2)\,(4)\,(3,5)=(1,2)\,(3,5)}\).

W zadaniu mają nie istnieć punkty stałe permutacji, czyli każdy element musi być w jakimś cyklu (co najmniej dwuelementowym). Są więc możliwe sytuacje dwojakiego rodzaju, przykładowo: \(\displaystyle{ (1,2)\,(3,4)}\), albo \(\displaystyle{ (1,2,3,4)}\).




W wymaganiach maturalnych jest prawdopodobieństwo warunkowe, więc dziwi mnie, że nie miałeś go na lekcjach. Chociaż z drugiej strony, w wymaganiach maturalnych jest też:

Zdający wie, zna i rozumie:
1) liczby i ich zbiory:
c) co to jest zbiór liczb rzeczywistych

pomimo, że ewidentnie wykracza to poza to, co da się omówić w większości liceów.