Prawdopodobieństwo podzielności przez 5

[goldenka]

Ze zbioru {0,1,2,...,9} losujemy bez zwracania 5 cyfr. Obliczyć prawdopodobieńtwo tego, że można z nich utworzyć liczbę podzielną przez 5. Odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{7}{9}}\)
dzięki z góry za pomoc.

[bartholdy]

Wydaje mi się, że odpowiedź, którą podałaś to odpowiedź na zadanie "nie można z nich utworzyć liczby podzielnej przez 5" ale może jestem w błędzie.

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{{2\choose 2} {8\choose 3}}{{10\choose 5}} = \frac{2}{9}}\)

Pozdrawiam.

[LecHu :)]

Mi też wychodzi 2/9. Może jest błąd w odpowiedziach?

[d(-_-)b]

Mnie natomiast wychodzi \(\displaystyle{ \frac{7}{9}}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline\Omega}={10\choose 5}=252}\)

mamy dwa przypadki:
1) na ostatnim miejscu stoi \(\displaystyle{ 0}\)

_ _ _ _ 0

zatem losujemy ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}\) cztery cyfry, czyli
\(\displaystyle{ {9\choose 4}=126}\)

2) na ostatnim miejscu stoi \(\displaystyle{ 5}\)

zatem losujemy ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,6,7,8,9\}}\) cztery cyfry, czyli
\(\displaystyle{ {8\choose 4}=70}\) - odrzuciłem ze zbioru także zero, bo może trafić na pierwszym miejscu,

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A}}=126+70=196}\)


\(\displaystyle{ P(A)=\frac{196}{252}=\frac{7}{9}}\)




Bartholdy, przecież Goldenka podała odpowiedź , wiec Twój wynik jest zły, nie rozumiem czemu się upierasz. Skoro nie akceptujesz mojego pierwszego rozwiązania, to zrobię to drugą metodą

\(\displaystyle{ \overline{\overline\Omega}={10\choose 5}=252}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A'}}={8\choose 5}=56}\)

\(\displaystyle{ P(A')=\frac{56}{252}=\frac{2}{9}}\)

\(\displaystyle{ P(A)=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}}\)

[bartholdy]

że można z nich utworzyć liczbę podzielną przez 5

Rozumowałem w trochę inny sposób niż d(-_-)b. Poprostu wylosowałem cyfry, nie interesowało mnie która na jakim miejscu stoi, właściwie to nie tworzyłem liczby - po prostu rozstrzygam czy można z nich utworzyć liczbę spełniającą warunki zadania czy nie.

Mnie natomiast wychodzi \(\displaystyle{ \frac{7}{9}}\)

2) na ostatnim miejscu stoi \(\displaystyle{ 5}\)

zatem losujemy ze zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,6,7,8,9\}}\) cztery cyfry, czyli
\(\displaystyle{ {8\choose 4}=70}\) - odrzuciłem ze zbioru także zero, bo może trafić na pierwszym miejscu,

Wydaje mi się, że nie możesz od tak odrzucić sobie zera. Dla przykładu, twoje rozwiązanie nie uwzględnia liczb takich jak 10235, 21035, itp.
Dla takiego przypadku:
Losowanie z uwzględnieniem kolejności.
\(\displaystyle{ \bar{\bar\Omega} = {10\choose 5}\cdot 5! = 30240}\)

1) _____\(\displaystyle{ 0}\)

\(\displaystyle{ \overline{\overline{A_1}} = {9\choose 4}\cdot 4! = 3024}\)

2) _____\(\displaystyle{ 5}\)

Na pierwszym miejscu {1,2,3,4,6,7,8}, drugim {0,1,2,3,4,6,7,8} odjąć jedną wylosowaną i tak do 4.
\(\displaystyle{ \overline{\overline{A_2}} = {8\choose 1}{8\choose 1}{7\choose 1}{6\choose 1}{1\choose 1} = 2688}\)

wtedy \(\displaystyle{ P(A) = \frac{P(A_1)+P(A_2)}{\Omega} = \frac{17}{90}}\)

Jeżeli się mylę, poprawcie, albo zanegujcie.

Pozdrawiam.

[goldenka]

To zadanie pochodzi z kursu korespondencyjnego z 1999 r organizowanego prze PWr. Mam wskazówke do tego zadania, za dużo nie mówi, ale może się przyda:
"Zbudować model probalistyczny dośw. tj. określić zbiór gamma i prawdopodobieństwo P , Wygodniej jest obliczać prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego tj. że z wylosowanych cyfr nie można utworzyć liczby podzielnej prze 5"

[jasny]

Po prostu losujemy kolejno 5 cyfr. Ma dać się zrobić z nich 5-cio cyfrową liczbę podzielną przez 5 (czyli wylosowane cyfry można dowolnie poprzestawiać). Tak jak pisał d(-_-)b, jeden przypadek jak wśród tych liczb jest 0 (5 może być ale nie musi, bez różnicy), a drugi, jeśli wśród tych liczb jest 5 (ale już nie ma zera, bo jest ono w pierwszym przypadku).

[bartholdy]

Nie upieram się, po prostu chcę dyskutować na temat odnośnie, którego mam wątpliwości. Wydaje mi się, że po to właśnie są fora. Przepraszam, jeżeli źle to odebrałeś.

Twoje rozwiązanie jest dobre. Gratuluję, ale jeśli mogę...
W końcu doszliśmy, że jednak chodzi o wylosowanie zbioru i z tym się zgadzam. Mylne jest to ustawianie liczb - 0 na końcu 5 na końcu.
Drugi sposób, ok - losujemy {1,2,3,4,6,7,8,9}, w ten sposób uzyskamy 5 cyfr które nie dadzą nam liczby podzielnej przez 5.

Pierwszy sposób, mimo że daje poprawny wynik uważam za błędny.

Odpowiadając po raz pierwszy pominąłem element. Losujemy zbiór liczb w którym występują \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ 5}\) oraz taki gdzie występuje tylko jedna z nich.
\(\displaystyle{ \bar{\bar{A}} = {2\choose 2}\cdot{8\choose 3} + {2\choose 1}\cdot{8\choose 4} = 196}\)

Cenie sobię wszelkie rady, więc nie wahajcie się mnie krytykować.

Pozdrawiam.

P.S. Oczywiście można by było zapisać to sposób podany, ale opis trzeba by było zmienić.