Zadania prawdopodobieństwo cz. 5

[Weronikaa90]

Rzucamy 6 razy monetę. Czy zdarzenia: A - „wypadł dokładnie 3 razy orzeł” i B –„reszka
wypadła dokładnie 3 razy” są zależne ?

[Weronikaa90]

W związku z remontem odcinka linii kolejowej prawdopodobieństwo planowego przyjazdu pociągu do stacji docelowej wynosi 0,55 ; opóźnienia 0,35 ; wcześniejszego przyjazdu 0,1 (zakładamy, że pociągi kursują niezależnie i każdy do stacji docelowej dojedzie). Ile wynosi prawdopodobieństwo, że spośród 10 składów:
- 8 przyjedzie planowo i 1 z opóźnieniem,
- 5 przyjedzie planowo i żaden się nie opóźni,
- wszystkie przyjadą przed czasem ?

[Weronikaa90]

Ubezpieczyciel ocenia, że w ciągu roku 0,04 % ubezpieczonych samochodów zostaje skradzionych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w danym roku zostaną skradzione więcej niż trzy pojazdy, jeżeli w danej grupie ryzyka zostało ubezpieczonych 120 aut ?

[Errichto]

1.

Ukryta treść:    

Po wpisaniu "Rzucamy 6 razy monetą. Czy zdarzenia" w wyszukiwarkę na pierwszym miejscu otrzymujemy post z takim samym zadaniem...
Tak, zależne.

3.

Ukryta treść:    

Nie powinno być \(\displaystyle{ 4 \%}\) zamiast \(\displaystyle{ 0,04 \%}\)?

Szansa na 0 skradzionych to \(\displaystyle{ 0,9996 ^{120}}\)
Szansa na 1 skradzione wyliczysz tak jak tutaj 246566.htm wyliczona szansa na 2 spóźnienia w 17 dniach.
To samo dla 2 i 3 skradzionych (oddzielnie).
Te \(\displaystyle{ 4}\) wyniki dodaj - otrzymujesz szanse na zd. przeciwne. Trzeba tę sumę odjąć od jedynki.

[Weronikaa90]

\(\displaystyle{ {119 \choose 2}0,9996^{117} \cdot 0,0004 ^{2}-0,0004}\)

[ponury1985]

Liczba 0.04% jest prawidlowa.
A wiec, wg mnie Weronikaa90 zle napisala w ostatnim poscie, chyba prawidlowe rozwiazanie wyglada tak:

\(\displaystyle{ p(x=0)= {120 \choose 0} \cdot 0.0004 ^{0} \cdot 0.9996 ^{120}=0.953125}\)
\(\displaystyle{ p(x=1)= {120 \choose 1} \cdot 0.0004 ^{1} \cdot 0.9996 ^{119}=0.045768}\)
\(\displaystyle{ p(x=2)= {120 \choose 2} \cdot 0.0004 ^{2} \cdot 0.9996 ^{118}=0.001089}\)
\(\displaystyle{ p(x=3)= {120 \choose 3} \cdot 0.0004 ^{3} \cdot 0.9996 ^{117}=0.000017}\)

czyli odejmujac podane wyniki od 1 otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1-0.999999=0.000001}\)

to prawidlowe rozwiazanie? moglby ktos potwierdzic?

[leapi]

małe \(\displaystyle{ p}\) + duże \(\displaystyle{ n}\) = rozkład poissona

\(\displaystyle{ \lambda=120\cdot 0,004}\)

\(\displaystyle{ p(x=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}}\)

\(\displaystyle{ k=0,1,2,3}\)

\(\displaystyle{ 1-p(x=0)-p(x=1)-p(x=2)-p(x=3}\)

[norwimaj]

ponury1985, wzory poprawne, ale robiąc takie przybliżenia otrzymujesz wynik z dużym błędem. Nie wychodzi \(\displaystyle{ 10^{-6}}\), tylko ok. \(\displaystyle{ 2\cdot 10^{-7}}\).

\(\displaystyle{ \lambda=120\cdot 0,004}\)

\(\displaystyle{ \lambda=120\cdot 0{,}0004}\) (brakowało jednego zera)

[ponury1985]

Czyli poprawnie powinno byc to policzone z rozkladu Poissona? W takim razie wychodzi cos takiego:
\(\displaystyle{ \lambda=120 \cdot 0,0004=0,048}\)

i podstawiajac do wzoru na rozklad Poissona mamy:
\(\displaystyle{ p(x=0)=\frac{0,048^0}{0!} \cdot e^{-0,048}=0,9531337871}\)
\(\displaystyle{ p(x=1)=\frac{0,048^1}{1!} \cdot e^{-0,048}=0,04575042178}\)
\(\displaystyle{ p(x=2)=\frac{0,048^2}{2!} \cdot e^{-0,048}=0,001098010123}\)
\(\displaystyle{ p(x=3)=\frac{0,048^3}{3!} \cdot e^{-0,048}=0,00001756816196}\)

No a teraz odejmując sumę poszczególnych wyników od jedynki otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1-0,9999997872=0,00000021283504}\) czyli \(\displaystyle{ 2,1283504 \cdot 10^-7}\)
---------
chcialem wyedytowac poprzedni post, no ale nie mam takiej mozliwosci, wiec pierwsze rozwiazanie wkleje jeszcze raz tu, tym razem bez zadnych zaokraglen - bo cos mi mowi ze wyjdzie dokladnie taki sam wynik:) a wiec:

\(\displaystyle{ p(x=0)={120 \choose 0} \cdot 0,0004^{0} \cdot 0,9996^{120}=0,9531246346}\)
\(\displaystyle{ p(x=1)={120 \choose 1} \cdot 0,0004^{0} \cdot 0,9996^{119}=0,04576828978}\)
\(\displaystyle{ p(x=2)={120 \choose 2} \cdot 0,0004^{0} \cdot 0,9996^{118}=0,001089721185}\)
\(\displaystyle{ p(x=3)={120 \choose 3} \cdot 0,0004^{0} \cdot 0,9996^{117}=0,00001715180737}\)

czyli takze tu odejmujac sume poszczegolnych pradopodobienstw od 1 otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 1-0,9999997974=0,00000020262763}\) czyli dokladnie tyle samo co w schemacie Poissona:) Jednakze to zadanie monza policzyc tylko ze schematu Poissona - no chyba ze ktos ma kalkulator ktory jest w stanie policzyc \(\displaystyle{ 120!}\). Moj kalkulator oblicza maksymalnie \(\displaystyle{ 69!}\) dziekuje wszystkim za pomoc, zadanie uznaje za rozwiazane:)

[norwimaj]

Nie twierdzę że tamto było złe. Trzeba było tylko wziąć więcej miejsc po przecinku.

[ponury1985]

tak, policzylem jeszcze raz i rzeczywiscie wyszlo dokladnie to samo:) chcialem "pomogl" kliknac, ale nie moge odnalezc tego przycisku. Dziekuje za pomoc:)

[norwimaj]

tak, policzylem jeszcze raz i rzeczywiscie wyszlo dokladnie to samo:)

Wyszło dokładnie to samo, bo ostatecznie i tak zrobiłeś przybliżenie rozkładem Poissona. Jest to wynik nieco przybliżony.

Co prawda na ogół kalkulatory nie potrafią policzyć \(\displaystyle{ 70!}\) (Pewien wykładowca mawia: "Mnie staje na \(\displaystyle{ 69!}\)"), ale na komputerze można policzyć dokładnie:

\(\displaystyle{ 2{,}026346024234479095871610750776280715107638867139111596\\
8664105036798535799445910328929862264741376627743754068\\
7054495128365277820642075239004954420885297711320871265\\
8010035208674884446643742693864935608852014603041179727\\
3707323103508460179828315635904237693136108151288052564\\
0911734417173126779065059971024226284906798186993169931\\
6201883857390354848883248667855861416404434623307598164\\
6857762000811719578889814284854386414892543374991787010\\
9309789578369343806077224609644544\cdot10^{-7}}\)

Jak widać, przybliżenie \(\displaystyle{ 2,1283504 \cdot 10^-7}\) jest całkiem niezłe.

chcialem "pomogl" kliknac, ale nie moge odnalezc tego przycisku. Dziekuje za pomoc:)

Można tylko w tematach założonych przez siebie, ale takie słowne wyrazy wdzięczności mi wystarczają.