2 zadania z klasycznej definicji

[kp1311]

Chciałbym prosić o sprawdzenie moich rozwiązań poniższych zadań.
1. Ze zbioru \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6,7}\) losujemy 3 liczby bez zwracania 3 liczby. Oblicz p że różnica największej i najmniejszej wylosowanej liczby jest nie większa od 3.
2. losujemy ze zwracaniem dwie liczby ze zbioru \(\displaystyle{ 1,2,3,...,2n}\) oblicz p że iloraz pierwszej z wylosowanych liczb przez drugą jest liczbą z przedziału \(\displaystyle{ (1;2>}\).

AD1.Jak już wylosujemy te trzy liczby to dostaniemy 3-elementowy podzbiór zbiory 7 elementowego.
\(\displaystyle{ \Omega = (^7_3)=35}\)
Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą wylosowanymi liczbami w porządku \(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\).
\(\displaystyle{ a=3 \Rightarrow b=2 \wedge c=1}\)

\(\displaystyle{ a \in \left\{ 4,5,6,7\right\} \Rightarrow (b = a-2 , c=a-3) \vee (b=a-1, c \in \left\{ a-2,a-3\right\}}\)
Zatem: \(\displaystyle{ |A| = 1 + 4(1 \cdot 1 + 1 \cdot 2) = 13}\).
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{13}{35}}\)

AD2. Niech \(\displaystyle{ a,b}\) będą wylosowanymi liczbami w kolejności losowania.
\(\displaystyle{ \Omega = 4n^2}\)
Wówczas \(\displaystyle{ b< a \le 2b \Rightarrow a \in \left\{b+1,b+2,...,2b\right\}}\)
Czyli do kazdej liczby \(\displaystyle{ b}\) liczbę \(\displaystyle{ a}\) możemy dobrać na \(\displaystyle{ b}\) sposobów.
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1 + 2 + ... +2n}{4n^2} = \frac{(1+2n)n}{4n^2}= \frac{1+2n}{4n}}\).

W zadaniu 1 znając życie mam zły wynik, a w zadaniu 2 powinno \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\).
Ogólnie mam bardzo często zły wynik gdy robie zadanie z rachunku p. Co gorsza nie jestem w stanie znaleźć błędu w swoich rozwiązaniach. Proszę o pomoc, interesuje mnie gdzie są błędy i co sądzicie o rozwiązaniach tych zadań.

[Errichto]

1. Wynik poprawny. Jeśli chodzi o to, "co sądzę o rozwiązaniu zadania", to jest jak najbardziej ok.
2. Ja bym powiedział, że \(\displaystyle{ a \in \{1,2,...,2b\}}\). Mamy przecież przedział \(\displaystyle{ (0,2>}\), a nie \(\displaystyle{ (1,2>}\).

[kp1311]

Wybacz przekręciłem treść w 2, powinno być \(\displaystyle{ (1;2>}\), już edytuje

[Errichto]

\(\displaystyle{ n=4\\(1,2,3,4,5,6,7,8)}\)
Np. dla \(\displaystyle{ b=2}\) jest ok - mamy 2 pasujące liczby \(\displaystyle{ a}\): 3,4.
A np. dla b=6? Też mamy 6 pasujących? Czy może 8-6=2 pasujące?


\(\displaystyle{ \frac{1+2+...n-2+n-1+n+n-1+n-2+...+1}{4n^2}}\)

[kp1311]

Tutaj trzeba dodatkowo przyjąć \(\displaystyle{ b \le n}\):
\(\displaystyle{ b< a \le 2b \Rightarrow a \in \left\{b+1,b+2,...,2b\right\}}\)
Z tego dostaniemy \(\displaystyle{ \frac{(1+n)n}{2}}\) par liczb.
Jeśli teraz \(\displaystyle{ b \ge n+1}\) to \(\displaystyle{ b<a \le 2n}\).
Czyli dla liczby \(\displaystyle{ b}\) dostaniemy \(\displaystyle{ 2n-b}\) liczb.
Stąd będziemy mieli \(\displaystyle{ 2n-(n+1) + 2n- (n+2) + ... + 2n-(2n-1) + 2n-2n = \frac{(n-1)n}{2}}\) liczb.

\(\displaystyle{ |A| = \frac{(n+1)n}{2} + \frac{(n-1)n}{2} = n^2}\).

Wyszło, dzięki.

[Errichto]

\(\displaystyle{ \frac{1+2+...n-2+n-1+n+n-1+n-2+...+1}{4n^2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1+2+...n-2+n-1+n+n-1+n-2+...+1}{4n^2}=\frac{2(1+2+...n-2+n-1)+n}{4n^2}=\frac{n(n-1)+n}{4n^2}=\frac{n^2}{4n^2}}\)
To samo.

Co do "Tutaj trzeba dodatkowo przyjąć \(\displaystyle{ b \le n}\)", to jest to (trochę) błędne. Lepsze będzie coś w stylu:
"Rozbijmy to na 2 przypadki:
1) Dla \(\displaystyle{ b \le n}\) blablabla.
2) Dla \(\displaystyle{ b>n}\) blebleble."
albo po prostu:
"Jeśli \(\displaystyle{ b \le n}\) blablabla.
Jeśli \(\displaystyle{ b>n}\) blebleble."

[kp1311]

Kwestie językowe pozostawmy polonistom
Gdybym pisał rozwiązanie od początku napisałbym ,,po twojemu" Nie mniej jednak to co napisałem nie jest błędne, chyba nie musimy się aż tak czepiać słówek, zwłaszcza że to są zwykłe maturalne zadanka

[Errichto]

Na egzaminie chyba tną za takie rzeczy. Mniejsza z tym - zadanie jest zrobione.

[kp1311]

Jeszcze raz dzięki, pozdrawiam.