Rzut monetą i inne problemy

[martin90]

Witam serdecznie.
Miałem do rozwiązania 7 rożnych zadań, ale ponieważ z prawdopodobieństwa nigdy nie byłem asem, to proszę was o pomoc. Zadania rozwiązałem i prosiłbym tylko o potwierdzenie (lub nie) że zrozumiałem o co chodzi i czy rozwiązania są ok. Będę pisał po 2 zadania naraz:
zad 1:
Trzej chłopcy Adam, Bolek i Czesio graja w następującą grę: złożyli się po jednej
monecie, po czym Adam podrzuca te monety do góry, a gdy spadną zabiera te, które
spadły orłami do góry. Następnie Bolek zbiera pozostałe monety, podrzuca je i zabiera te,
które spadły orłami do góry. Pozostałe monety zabiera Czesio. Niech XA oznacza liczbę
monet wygranych przez Adama, XB liczbę monet wygranych przez Bolka, i XC liczbę
monet, które przypadły Czesiowi. Wyznaczyć rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych
losowych XA;XB;XC.
Moje rozwiązanie:
Liczby 0,1,2 i 3 oznaczają liczbę sukcesów czyli wypadł orzeł.
A. funkcja prawdopodobieństwa dla Adama Xa:
0 - 1/8
1 - 3/8
2 - 3/8
3 - 1/8
B. funkcja prawdopodobieństwa dla Bolka Xb:
0 - 27/64
1 - 27/64
2 - 9/64
3 - 1/64
B. funkcja prawdopodobieństwa dla Czesia Xc:
0 - 27/64
1 - 27/64
2 - 9/64
3 - 1/64
Zad 2.
Podczas klasówki z historii Piotr i Paweł siedzieli obok siebie. Miedzy innymi
mieli napisać dwie daty. Piotr je pamiętał, ale nie wiedział jak je przyporządkować. Zapytał
Pawła, wiedząc, że w 3 przypadkach na 4 Paweł zna prawidłową odpowiedź, chociaż
Paweł uważał, że zawsze wie dobrze. Jednak Paweł w 3 przypadkach na 5 oszukuje Piotra.
Co jest lepsze dla Piotra: posłuchać Pawła czy odpowiadać losowo?
Rozpisałem wszystkie możliwości i wyszło mi tak:
1. odpowiedź Pawła była ok i nie skłamał: \(\displaystyle{ \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}= \frac{6}{20}}\)
2. odpowiedź Pawła była ok i skłamał \(\displaystyle{ \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5}= \frac{9}{20}}\)
3. odpowiedź Pawła była zła i nie skłamał \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}= \frac{2}{20}}\)
4. odpowiedź Pawła była zła i skłamał \(\displaystyle{ \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{5}= \frac{3}{20}}\)
Czyli wszystkie dobre odpowiedzi to:
\(\displaystyle{ \frac{6}{20} + \frac{3}{20}= \frac{9}{20}}\)
Czyli powinien odpowiadać losowo ponieważ:
\(\displaystyle{ \frac{9}{20} < \frac{1}{2}}\)
Pozdrawiam i liczę na pomoc

[Errichto]

Wszystkie odpowiedzi poprawne i rozumowanie też dobre.

[martin90]

Wszystkie odpowiedzi poprawne i rozumowanie też dobre.

Dzięki za odpowiedź. Mam tylko jedną wątpliwość, czy na pewno dobrze jest to, że funkcja prawdopodobieństwa dla Bolka i Czesia są takie same. Jakoś tak podejrzanie to wygląda. Zrobiłem sobie "drzewko" i stąd taki wynik.

[Errichto]

(Jako [oor] oznaczamy prawd. na 2 orły i reszkę - w dowolnej kolejności.)
To nie jest podejrzane, bo to nie przypadek.
Adam rzucił i ileś wziął (albo i nie wziął wcale) - załóżmy, że wziął 1 monetę.
Pozostają 2 monety i:
a) Szansa na rozkład B:C = 2:0 (obie monety trafiają do B) to [oo]
b) Szansa na 1:1 to [or]
c) 0:2 - [rr]
Dla B szansa na 0 to prawd. z a).
Dla C szansa na 0 to prawd. z c).
Zauważ, że \(\displaystyle{ [rr]=[oo]}\).
I ogólnie zachodzi taka symetria (to był tylko przykład).

A inaczej (i sprytniej):
Z pozostałych po rzucie A monet, B bierze orły (czyli każdą z prawd.-em \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)).
Z pozostałych po rzucie A monet, C bierze reszki (czyli każdą z prawd.-em \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)).
Czyli ich rozkłady będą wyglądały tak samo (oczywiste chyba?).

[martin90]

Świetnie, znaczy że rozumiem o co chodzi.
A teraz 2 następne:
zad 3
Sekretarka napisała 3 listy do 3 rożnych adresatów, włożyła je do kopert, zakleiła,
po czym na każdej kopercie nakleiła jeden z adresów, na które trzeba było listy wysłać.
Obliczyć wartość oczekiwana i wariancje liczby listów zaadresowanych prawidłowo.
Dosyć proste, ale wynik też jakiś podejrzany.
Wartość oczekiwana = 1
Wariancja = 1
Zad 4
Pewna firma medyczna publikuje swój nowy test na pewna wadę genetyczna.
Współczynnik niepoprawnych negatywnych wyników jest mały: jeśli ktoś ma te wadę,
to prawdopodobieństwo, ze test ja wykryje, wynosi 0; 999. Współczynnik niepoprawnych
pozytywnych wyników jest również mały: jeśli ktoś nie ma tej wady, to prawdopodobieństwo,
ze test da pozytywny wynik, wynosi tylko 0; 005. Załóżmy, ze tylko 2% populacji
wykazuje te wadę. Jeśli losowo wybrana osoba z tej populacji zostaje poddana testowi
i wynik jest pozytywny, to jakie jest prawdopodobieństwo, ze ta wada rzeczywiście występuje
u tej osoby?
Z prawdopodobieństwa warunkowego.
Liczyłem wszystkie pozytywne wyniki \(\displaystyle{ 0,02 \cdot 0,999 + 0,98 \cdot 0,05=0,02488}\),
potem prawdziwe pozytywne wyniki \(\displaystyle{ 0,02 \cdot 0,999 = 0,01998}\).
I na koniec \(\displaystyle{ P(A/B)=0,01998/0,02488 = 0,8030}\)

[Errichto]

3. OK
4. Wszystko OK poza drobną literówką (cyfrówką?)

\(\displaystyle{ 0,02 \cdot 0,999 + 0,98 \cdot 0,05=0,02488}\)

- powinno być \(\displaystyle{ 0,005}\). Ale wynik poprawny - liczyłeś już dla \(\displaystyle{ 0,005}\)

[martin90]

I jeszcze jedno, ostatnie zadanie(reszta jest zbyt prosta by zaśmiecać forum).
Zmienne losowe X1;X2; ...... ;X100 są niezależne o jednakowych rozkładach określonych
gęstością:
\(\displaystyle{ f(x) = 1}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\)
\(\displaystyle{ f(x) = 0}\) dla pozostałych \(\displaystyle{ x}\)
Obliczyć prawdopodobieństwo\(\displaystyle{ P(Y100 \ge 55)}\) gdzie \(\displaystyle{ Y100= \sum_{100}^{i=1}Xi}\)

Korzystałem z twierdzenia granicznego Lindeberga-Levy’ego.
I wyszło mi
\(\displaystyle{ P(Y100 \ge 55)=0,042}\)

[oldgringo]

I jeszcze jedno, ostatnie zadanie(reszta jest zbyt prosta by zaśmiecać forum).
Zmienne losowe X1;X2; ...... ;X100 są niezależne o jednakowych rozkładach określonych
gęstością:
\(\displaystyle{ f(x) = 1}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0;1)}\)
\(\displaystyle{ f(x) = 0}\) dla pozostałych \(\displaystyle{ x}\)
Obliczyć prawdopodobieństwo\(\displaystyle{ P(Y100 \ge 55)}\) gdzie \(\displaystyle{ Y100= \sum_{100}^{i=1}Xi}\)

Korzystałem z twierdzenia granicznego Lindeberga-Levy’ego.
I wyszło mi
\(\displaystyle{ P(Y100 \ge 55)=0,042}\)

Czy ktoś mógłby potwierdzić czy wynik uzyskany przez kolegę martina90 jest prawidłowy?