Ile jest jabłek zgniłych w 20stu wybranych losowo.

Dworo · Post autor: **Dworo** » 21 mar 2011, o 18:16

Otóż mam takie zadanie którego odpowiedzi jestem ciekaw. Niestety nie jestem w stanie sobie z nim poradzić. Byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś mógł mi to wyjaśnić. Dziękuje bardzo i pozdrawiam.

Średnio 1 na 10 jabłek jest zepsute. X to liczba zepsutych jabłek w 20 losowo wybranych jabłkach. Oblicz:
-jakie jest prawdopodobieństwo, ze przynajmniej 3 jabłka są zepsute
-jakie jest prawdopodobieństwo, ze nie więcej niż 1 jabłko jest zepsute (zgniłe)
-jaka jest wartość oczekiwana zmiennej x
-jakie jest odchylenie standardowe zmiennej x

Errichto · Post autor: **Errichto** » 21 mar 2011, o 18:42

Szanse na to, że w 20 dokładnie x będzie zgniłych to:
\(\displaystyle{ {20 \choose x} *0.1 ^{x} * (1-0.1) ^{20-x}}\)
Jeśli chcesz wiedzieć skąd w ogóle się bierze ten wzór, to mogę wyjaśnić.
W dwóch pierwszych należy wykorzystać ten wzór, np. (w drugim) dodając szanse na dokładnie dokładnie 0 zgniłych i dokładnie 1 zgniłe.
W trzecim szukana liczba to [szansa na dokładnie 0 zgniłych]*0+[szansa na dokł. 1 zgn.]*1+...[szansa na dokł. 20 zgn.]*20
Można zatrudnić excela.

Dworo · Post autor: **Dworo** » 21 mar 2011, o 19:10

wow :O nawet teraz nie jestem wstanie rozwiązać tego zadania... czy mógłbyś je rozwiązać? aha a jakiej funkcji exela można użyć i które dane wpisać gdzie? dzięki za to że tak szybko odpowiedziałeś -- 21 mar 2011, o 20:10 --wow :O nawet teraz nie jestem wstanie rozwiązać tego zadania... czy mógłbyś je rozwiązać? aha a jakiej funkcji exela można użyć i które dane wpisać gdzie? dzięki za to że tak szybko odpowiedziałeś

Errichto · Post autor: **Errichto** » 21 mar 2011, o 19:25

Czy wystarczą wyniki (lub wyniki+rozwiązanie) czy bardziej chodzi o to, aby umieć?

W jakieś okienko excela wpisujesz \(\displaystyle{ 0.9 ^{20}}\)
W okienko po lewej wpisujesz 0. Pod zerem wpisujesz 1 i przeciągasz, tak aby mieć kolumnę 0,1,2,3,...,20.
Pod \(\displaystyle{ 0.9 ^{20}}\) wpisz
=[tutaj adres do komórki wyżej]*(21/[adres do kom. na prawo]-1)*0.1/0.9
I przeciągnij w dół tak, aby ta formuła skopiowała się aż do komórki na prawo od liczby 20.
Nie wykluczam jakiejś pomyłki u mnie, błędu rachunkowego.

Dworo · Post autor: **Dworo** » 21 mar 2011, o 19:43

Chciałbym zrozumieć tyle że nie wiem czy jestem w stanie jakbyś mógł mi to zospisać ewentualnie zrobić screen shoota w exelu i podesłać na guru87m@wp.pl albo wrzucić tutaj.. a jak obliczyc wartość oczekiwana i odchylenie?

Psiaczek · Post autor: **Psiaczek** » 21 mar 2011, o 20:06

Dworo pisze:Chciałbym zrozumieć tyle że nie wiem czy jestem w stanie jakbyś mógł mi to zospisać ewentualnie zrobić screen shoota w exelu i podesłać na guru87m@wp.pl albo wrzucić tutaj.. a jak obliczyc wartość oczekiwana i odchylenie?

Ze wzorow , mowie z pamieci czekiwana np, wariancja npq, odchylenie to pierw.kwadratowy z wariancji, n liczba doswiadczen,p-pstwo sukcesu, q=1-p

Errichto · Post autor: **Errichto** » 21 mar 2011, o 20:13

NZ-niezgniłe jabłko Z-zgniłe jabłko
Szansa na N to \(\displaystyle{ 0.9}\)
Wybieramy 3 jabłka.
Jaka jest szansa na 3 NZ (0 Z)?
\(\displaystyle{ 0.9*0.9*0.9=0.9 ^{3}}\)
A co jeśli mają być 3 Z?
\(\displaystyle{ 0.1 ^{3}}\)
2 Z, 1 NZ:
\(\displaystyle{ 0.1*0.1*0.9}\)
Czy aby na pewno? Nie.
Jest to szansa na Z, Z, NZ, a przecież można wybrać 2 Z i jedno NZ także w innej kolejności.
Z,Z,NZ / Z,NZ,Z / NZ,Z,NZ
\(\displaystyle{ 0.1*0.1*0.9+0.1*0.9*0.1+0.9*0.1*0.1}\)
Ile jest takich kombinacji, jeśli wybieramy n jabłek i chcemy k zgniłych (ew. n-k niezgn. - to jest to samo)?
\(\displaystyle{ {n \choose k}}\) - tak jest z definicji i kropka.
A jak uogólnić to \(\displaystyle{ 0.1*0.1*0.9}\)?
\(\displaystyle{ 0.1 ^{k} *0.9 ^{n-k}}\)
(k razy wybieramy zgniłe, n-k razy niezgn.)
Ostateczny wzór to zatem:
\(\displaystyle{ {n \choose k}*0.1 ^{k} *0.9 ^{n-k}}\)
Jest to wzór na szanse na trafienie k zgniłych wśród n wybranych.
Czyli jeśli ma być np. co najwyżej 2 zgniłe wśród 20 wybranych, to za \(\displaystyle{ n}\) podstawiasz 20, i dodajesz wyniki dla \(\displaystyle{ k=0,1,2}\).

Dworo · Post autor: **Dworo** » 21 mar 2011, o 20:33

Czyli jeśli chce znaleźć conajmniej 3 zespute w 20 wylosowanych to za k podstawiam 3? a jeśli nie więcej niż 1 to podstawiam 1? dobrze rozumiem?

Errichto · Post autor: **Errichto** » 21 mar 2011, o 20:41

Jeśli co najwyżej 5 zepsutych, to chcemy 0 zepsutych albo 1 zepsute albo 2 albo 3 albo 4 albo 5 zepsutych.
Podstawisz k=0 - masz wyliczoną szansę na 0 zepsutych
Podstawisz k=1 - szansa na 1 zepsute
...
Podstawisz k=5 - szansa na 5 zepsutych
Dla |co najwyżej 5| musisz dodać wyniki z podstawiania k=0, k=1, ..., k=5
Dla |co najmniej 3| dodajesz wyniki z podstawiania k=3, k=4, ..., k=20
To drugie jest za długie - lepiej zrobić coś takiego:
Szukasz x - szanse na to, że nie będzie tak jak jest podane (co najmniej 3) to 1-x
Jeśli |co najmniej 3| ma być nieprawdą to ma być |co najwyżej 2|
Czyli gdy dodasz wyniki dla k=0,1,2 to otrzymasz 1-x, z czego wyznaczasz x

Dworo · Post autor: **Dworo** » 21 mar 2011, o 20:54

wynik dla k=1 to 0,270
wynik dla k=2 to 0,015
wynik dla k=3 to 0,001

nie umiem obliczyc dla k = 0 ponieważ jak podstawie do wzoru to przez zero mi nie podzili

Errichto · Post autor: **Errichto** » 21 mar 2011, o 21:03

\(\displaystyle{ {n \choose k}= \frac{n!}{k!*(n-k)!}}\)
To nie jest ułamek \(\displaystyle{ \frac{n}{k}}\) tylko symbol Newtona

Dworo · Post autor: **Dworo** » 21 mar 2011, o 21:21

ok
wynik dla k=0 0,121
wynik dla k=1 0,270
wynik dla k=2 0,285

ich suma to 0,676

po odjęciu od 1 ( 1-0,676= 0,324 ) co teraz?

Errichto · Post autor: **Errichto** » 21 mar 2011, o 21:24

0.676 to prawdopodobieństwo na otrzymanie co najwyżej dwóch zgniłych.
0.324 to prawd. na otrzymanie co najmniej 3 zgniłych.
Co teraz? No chyba nic, bo więcej liczenia to tu nie ma ;p

Dworo · Post autor: **Dworo** » 21 mar 2011, o 21:31

prawdopodobienstwo ze co najmniej 3 zgniłe mamy a że nie więcej niż jedno jabłko jest zgniłe? aha i jeszcze z tym odchyleniem bo jeśli mamy liczby powiedzmy ( 1,2,3,4,7,8,89) to wiem jak obliczyć ale tutaj nie mam pojęcia.. czy tak samo od (1,2,3,,,,,,20) i liczymy?-- 21 mar 2011, o 22:50 --właśnie... a to ma być przynajmniej 3 zgniłych czyli 3 lub więcej tak? i najwyżej 1...

Errichto · Post autor: **Errichto** » 22 mar 2011, o 14:03

Nie więcej niż jedno czyli dokładnie 0 albo 1. Czyli suma wyników dla k=0 i k=1.
Przynajmniej 3 <-> 3,4,5,...

Psiaczek pisze: Ze wzorow , mowie z pamieci czekiwana np, wariancja npq, odchylenie to pierw.kwadratowy z wariancji, n liczba doswiadczen,p-pstwo sukcesu, q=1-p

Wariancja to \(\displaystyle{ 20*0.1*0.9=1.8}\) (czyli \(\displaystyle{ Npq}\), \(\displaystyle{ N}\) to liczba prób (ile jabłek wybieramy), \(\displaystyle{ p}\) to szansa na sukces (niezgniłe), \(\displaystyle{ q}\) to szansa na porażkę).
Odchylenie to pierwiastek z tego czyli \(\displaystyle{ \sqrt{1.8}}\)