Płeć dzieci w rodzinie

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Jerzy_q
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 300
Rejestracja: 6 lut 2009, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 39 razy

Płeć dzieci w rodzinie

Post autor: Jerzy_q »

Pierwsze dziecko w rodzinie rodzi się z prawd. \(\displaystyle{ 1/2-1/2}\), natomiast każde kolejne jest z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 3/5}\) tej samej płci co poprzednie.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w 4-osobowej rodzinie jest dwóch chłopców i dwie dziewczynki?
Awatar użytkownika
rachu_ciachu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 7 mar 2010, o 21:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: bstok
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 3 razy

Płeć dzieci w rodzinie

Post autor: rachu_ciachu »

Masz odpowiedź do tego zadania? Wydaje mi się że najłatwiej jest rozrysować to na drzewko


wynik z tego co mi się wydaje powinien być \(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} =0,144}\)


Jeśli nie wiesz z czego to wynika wytłumaczę Ci
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Płeć dzieci w rodzinie

Post autor: mat_61 »

rachu_ciachu, nie wydaje mi się aby to było poprawne rozwiązanie.

Jeżeli np. te p-stwa napisałaś w kolejności urodzin dzieci, to nie spełnia to nawet warunków zadania, bo oznacza, albo:

C-C-D-C, albo

D-D-C-D

Zauważ, że podane p-stwo dotyczy urodzenia dziecka tej samej płci co poprzednie. Ponadto tych 2 chłopców i 2 dziewczynki mogą się rodzić w dowolnej kolejności, np. D-C-C-D, D-C-D-C itd.
Jerzy_q
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 300
Rejestracja: 6 lut 2009, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 39 razy

Płeć dzieci w rodzinie

Post autor: Jerzy_q »

No i właśnie z tymi różnymi kolejnościami nie wiem co zrobić.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Płeć dzieci w rodzinie

Post autor: mat_61 »

Po prostu wypisz sobie jakiej płci mogą być kolejno urodzone dzieci, aby urodziło się 2 chłopaków i 2 dziewczyny (jest 6 takich możliwości, po 3 w zależności od tego jakiej płci będzie pierwsze dziecko).
Awatar użytkownika
rachu_ciachu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 7 mar 2010, o 21:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: bstok
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 3 razy

Płeć dzieci w rodzinie

Post autor: rachu_ciachu »

wydaje mi się że mnożenie w różnej kolejności nie ma wpływu na wynik działania, zrób to sobie z drzewka.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Płeć dzieci w rodzinie

Post autor: mat_61 »

rachu_ciachu, oczywiście, że samo mnożenie w różnej kolejności nie zmienia wyniku (bo mnożenie jest przemienne), ale dla urodzeń w różnej kolejności są różne p-stwa "otrzymania" określonej płci kolejnych dzieci (czyli różne czynniki tego mnożenia). Jest tak dlatego, że to p-stwo zależy, zgodnie z treścią zadania, od płci dziecka urodzonego wcześniej.

Np. dla:

D-C-C-D (II dziecko innej płci niż poprzednie, III takiej samej płci jak poprzednie, IV innej płci niż poprzednie) mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{5}}\)

Natomiast dla D-C-D-C (każde kolejne dziecko innej płci niż poprzednie) mamy:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}}\)

Należy więc obliczyć sumę p-stw dla wszystkich możliwych wariantów urodzeń (a jest ich 6) w których urodzi się 2 chłopców i 2 dziewczynki.

Tak jak proponuje rachu_ciachu można to zadanie zrobić także za pomocą drzewka:

I poziom: 2 gałęzie, odpowiednio dla C i D
II, III, IV poziom: po dwie gałęzie od każdego wyniku wyższego poziomu z odpowiednimi p-stwami dla C i D

Na koniec należy wybrać te wszystkie "drogi" (a będzie ich 6) na których będą, w dowolnej kolejności, elementy C, C, D, D, obliczyć dla nich p-stwa (iloczyn p-stw dla kolejnych poziomów) i je zsumować.
ODPOWIEDZ