zmienna losowa, spóźnienie się asystenta

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
nelly321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 23 lis 2010, o 19:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Częstochowa
Podziękował: 3 razy

zmienna losowa, spóźnienie się asystenta

Post autor: nelly321 »

Asystent prowadzący zajęcia ze statystyki przychodzi do sali na ogół na dwie minuty przed wyznaczoną
godziną rozpoczęcia zajęć. Zakładając, że czas przyjścia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
z odchyleniem standardowym 2 min, określić jakie jest prawdopodobieństwo spóźnienia się tego asystenta na zajęcia.
szw1710

zmienna losowa, spóźnienie się asystenta

Post autor: szw1710 »

Chwilę planowego rozpoczęcia zajęć oznaczamy przez 0. Nasz rozkład to \(\displaystyle{ N(-2,2)}\), bo prowadzący przychodzi na zajęcia 2 minuty przed czasem (czyli w czasie -2 ). Zmienna X to czas przyjścia na zajęcia. Szukamy więc \(\displaystyle{ P(X>0)}\).

Naszą zmienną trzeba standaryzować. Mamy twierdzenie, że dla zmiennej o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N(m,\sigma)}\) zmienna standaryzowana \(\displaystyle{ U=\frac{X-m}{\sigma}}\) ma rozkład standardowy \(\displaystyle{ N(0,1)}\).

Standaryzujemy: \(\displaystyle{ m=-2,\quad \sigma=2}\)

\(\displaystyle{ X>0\iff X-m>-m\iff \frac{X-m}{\sigma}>-\frac{m}{\sigma}\iff U=\frac{X+2}{2}>1}\)

Zmienna \(\displaystyle{ U}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Zatem

\(\displaystyle{ P(U>1)=P(U\ge 1)}\) bo U jest zmienną ciągłą (nie ma znaczenia czy nierówność jest ostra czy słaba).

Dalej,

\(\displaystyle{ P(U>1)=P(U\ge 1)=1-P(U<1)=1-\Phi(1)}\),

gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) jest dystrybuantą rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\), a jej wartości odczytujemy z tablic.

Ostatecznie

\(\displaystyle{ P(X>0)=1-P(U<1)=1-\Phi(1)=1-0{,}8413=0{,}1587}\)
nelly321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 23 lis 2010, o 19:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Częstochowa
Podziękował: 3 razy

zmienna losowa, spóźnienie się asystenta

Post autor: nelly321 »

I już wszystko wiadomo. Dzięki!
ODPOWIEDZ