Asystent prowadzący zajęcia ze statystyki przychodzi do sali na ogół na dwie minuty przed wyznaczoną
godziną rozpoczęcia zajęć. Zakładając, że czas przyjścia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
z odchyleniem standardowym 2 min, określić jakie jest prawdopodobieństwo spóźnienia się tego asystenta na zajęcia.
zmienna losowa, spóźnienie się asystenta
zmienna losowa, spóźnienie się asystenta
Chwilę planowego rozpoczęcia zajęć oznaczamy przez 0. Nasz rozkład to \(\displaystyle{ N(-2,2)}\), bo prowadzący przychodzi na zajęcia 2 minuty przed czasem (czyli w czasie -2 ). Zmienna X to czas przyjścia na zajęcia. Szukamy więc \(\displaystyle{ P(X>0)}\).
Naszą zmienną trzeba standaryzować. Mamy twierdzenie, że dla zmiennej o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N(m,\sigma)}\) zmienna standaryzowana \(\displaystyle{ U=\frac{X-m}{\sigma}}\) ma rozkład standardowy \(\displaystyle{ N(0,1)}\).
Standaryzujemy: \(\displaystyle{ m=-2,\quad \sigma=2}\)
\(\displaystyle{ X>0\iff X-m>-m\iff \frac{X-m}{\sigma}>-\frac{m}{\sigma}\iff U=\frac{X+2}{2}>1}\)
Zmienna \(\displaystyle{ U}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Zatem
\(\displaystyle{ P(U>1)=P(U\ge 1)}\) bo U jest zmienną ciągłą (nie ma znaczenia czy nierówność jest ostra czy słaba).
Dalej,
\(\displaystyle{ P(U>1)=P(U\ge 1)=1-P(U<1)=1-\Phi(1)}\),
gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) jest dystrybuantą rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\), a jej wartości odczytujemy z tablic.
Ostatecznie
\(\displaystyle{ P(X>0)=1-P(U<1)=1-\Phi(1)=1-0{,}8413=0{,}1587}\)
Naszą zmienną trzeba standaryzować. Mamy twierdzenie, że dla zmiennej o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N(m,\sigma)}\) zmienna standaryzowana \(\displaystyle{ U=\frac{X-m}{\sigma}}\) ma rozkład standardowy \(\displaystyle{ N(0,1)}\).
Standaryzujemy: \(\displaystyle{ m=-2,\quad \sigma=2}\)
\(\displaystyle{ X>0\iff X-m>-m\iff \frac{X-m}{\sigma}>-\frac{m}{\sigma}\iff U=\frac{X+2}{2}>1}\)
Zmienna \(\displaystyle{ U}\) ma rozkład \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Zatem
\(\displaystyle{ P(U>1)=P(U\ge 1)}\) bo U jest zmienną ciągłą (nie ma znaczenia czy nierówność jest ostra czy słaba).
Dalej,
\(\displaystyle{ P(U>1)=P(U\ge 1)=1-P(U<1)=1-\Phi(1)}\),
gdzie \(\displaystyle{ \Phi}\) jest dystrybuantą rozkładu \(\displaystyle{ N(0,1)}\), a jej wartości odczytujemy z tablic.
Ostatecznie
\(\displaystyle{ P(X>0)=1-P(U<1)=1-\Phi(1)=1-0{,}8413=0{,}1587}\)