Mamy talie z \(\displaystyle{ s}\) kolorów, w każdym kolorze są karty o numerach od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\). Znaleźć prawdopodobieństwo że potrzeba dokładnie \(\displaystyle{ r}\) ciągnień by otrzymać próbkę złożoną ze wszystkich numerów.
Zadanie próbuje robić tak:
Za omegę przyjmuję wszystkie \(\displaystyle{ r}\)-tki uporządkowane, gdzie na każdej pozycji jest inna karta z \(\displaystyle{ sn}\) możliwych. Moje zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) ma mieć wszystkie możliwe numery przy czym jeden z nich musi wystąpić tylko raz i w dodatku na końcu, w \(\displaystyle{ r}\)-tym ruchu. Czyli ostatnia pozycja jest zarezerwowana, zostaje nam \(\displaystyle{ r-1}\) pozycji. Dalej myślę tak: skoro jedna z liczb od 1 do \(\displaystyle{ n}\) ma być tylko na ostatniej pozycji więc \(\displaystyle{ n-1}\) liczb musi się pojawić gdzieś na pozycjach \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ r-1}\). Przede wszystkim musimy wybrać \(\displaystyle{ n-1}\) liczb z \(\displaystyle{ n}\) co możemy zrobić na \(\displaystyle{ n}\) sposobów. Każda z tych liczb musi się pojawić co najmniej raz. Mogę więc wybrać im pola od 1 do \(\displaystyle{ r-1}\) ( co robię na \(\displaystyle{ {r-1\choose n-1}}\) sposobów) a na pozostałych polach mogę już stawiać pozostałe karty (\(\displaystyle{ s}\) kolorów i tylko \(\displaystyle{ n-1}\)liczb) jak chce. Każdą liczbę mogę wybrać na \(\displaystyle{ s}\) sposobów. Te wybrane \(\displaystyle{ n-1}\) liczb mogę ustawić w jednej kolejności (np. rosnąco) na \(\displaystyle{ s^{n-1}}\) sposobów a następnie przemnożyć przez \(\displaystyle{ (n-1)!}\). Ok. Na razie mam zajętych \(\displaystyle{ n-1}\) z \(\displaystyle{ r-1}\), więc zostaje nam \(\displaystyle{ r-1-(n-1)=r-n}\) pozycji, wykorzystaliśmy jak na razie \(\displaystyle{ n-1}\) kart, ale na ostatnią pozycję mamy zarezerwowane \(\displaystyle{ s}\) kart (jedna liczba we wszystkich kolorach) więc do wykorzystania zostaje \(\displaystyle{ sn-s-(n-1)=(s-1)(n-1)}\) kart. Te karty można rozłożyć na \(\displaystyle{ \frac{[(s-1)(n-1)]!}{[(s-1)(n-1)-(r-n)]!}}\) sposobów. Dalej wystarczy wszystkie kroczki przemnożyć i podzielić przez moc omegi.
Napisałem cały ten wywód bo (jak się można domyślić) jestem ciekaw czy jest poprawny. Możliwe też że trochę skomplikowałem sprawę więc byłbym wdzięczny gdyby ktoś wytknął mi błędy lub wskazał prostszą drogę.