W okrag wpisano n-kat foremny. Niech pn oznacza prawdopodobienstwo ze losowo wybrany punkt kola ograniczonego przez ten okrag nalezy do danego n-kata:
a) oplicz p3, p4, p6
b) znajdz granice ciagu p3.p4,p5,....
prosze o jak najdokladniejsze wytlumaczenie
prawdopodobienstwo z n-kat formeny
-
mostostalek
- Użytkownik
- Posty: 1384
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 33 razy
- Pomógł: 268 razy
prawdopodobienstwo z n-kat formeny
musisz policzyć pole trójkąta, kwadratu i sześciokąta ze względu na promień koła..
To bedzie coś takiego:
Pole trójkąta:
\(\displaystyle{ r=\frac{2}{3}h}\) zatem \(\displaystyle{ h=\frac{3}{2}r}\)
wyliczam długość boku trójkąta:
\(\displaystyle{ (\frac{3}{2}r)^2 + (\frac{1}{2}a)^2=a^2}\)
zatem
\(\displaystyle{ \frac{3}{4}a^2 = \frac{9}{4}r^2}\)
\(\displaystyle{ a^2=3r^2}\)
\(\displaystyle{ a=\sqrt{3} r}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} \frac{3}{2}r \sqrt{3}r=\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2}\)
Teraz \(\displaystyle{ P_3=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2}{\pi r^2}=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}}\)
[ Dodano: 22 Grudzień 2006, 01:12 ]
z kwadratem jest prościej:
\(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}d}\), czyli \(\displaystyle{ d=2r}\)
Pole kwadratu:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}d^2=\frac{1}{2} 4r^2=2r^2}\)
Zatem: \(\displaystyle{ P_4=\frac{2r^2}{\pi r^2}=\frac{2}{\pi}}\)
[ Dodano: 22 Grudzień 2006, 01:22 ]
I mamy jeszcze sześciokąt:
Tutaj też jest dość łatwo.. Mianowicie pole szcześciokąta składa się z 6 trójkątów równobocznych o boku długości r.. Zatem pole jednego trójkąta jest równe:
\(\displaystyle{ P=\frac{r^2\sqrt{3}}{4}}\), a pole sześciokąta:
\(\displaystyle{ P=6 \frac{r^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3r^2\sqrt{3}}{2}}\)
zatem ostatnie prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ P_6=\frac{\frac{3r^2\sqrt{3}}{2}}{\pi r^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}}\)
[ Dodano: 22 Grudzień 2006, 01:27 ]
Co do granicy: będzie to n-kąt gdzie n dąży do nieskończoności zatem pole koła będzie prawie równe polu n-kąta więc:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to } a_n=1}\)
To bedzie coś takiego:
Pole trójkąta:
\(\displaystyle{ r=\frac{2}{3}h}\) zatem \(\displaystyle{ h=\frac{3}{2}r}\)
wyliczam długość boku trójkąta:
\(\displaystyle{ (\frac{3}{2}r)^2 + (\frac{1}{2}a)^2=a^2}\)
zatem
\(\displaystyle{ \frac{3}{4}a^2 = \frac{9}{4}r^2}\)
\(\displaystyle{ a^2=3r^2}\)
\(\displaystyle{ a=\sqrt{3} r}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} \frac{3}{2}r \sqrt{3}r=\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2}\)
Teraz \(\displaystyle{ P_3=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}r^2}{\pi r^2}=\frac{3\sqrt{3}}{4\pi}}\)
[ Dodano: 22 Grudzień 2006, 01:12 ]
z kwadratem jest prościej:
\(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}d}\), czyli \(\displaystyle{ d=2r}\)
Pole kwadratu:
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}d^2=\frac{1}{2} 4r^2=2r^2}\)
Zatem: \(\displaystyle{ P_4=\frac{2r^2}{\pi r^2}=\frac{2}{\pi}}\)
[ Dodano: 22 Grudzień 2006, 01:22 ]
I mamy jeszcze sześciokąt:
Tutaj też jest dość łatwo.. Mianowicie pole szcześciokąta składa się z 6 trójkątów równobocznych o boku długości r.. Zatem pole jednego trójkąta jest równe:
\(\displaystyle{ P=\frac{r^2\sqrt{3}}{4}}\), a pole sześciokąta:
\(\displaystyle{ P=6 \frac{r^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3r^2\sqrt{3}}{2}}\)
zatem ostatnie prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ P_6=\frac{\frac{3r^2\sqrt{3}}{2}}{\pi r^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2\pi}}\)
[ Dodano: 22 Grudzień 2006, 01:27 ]
Co do granicy: będzie to n-kąt gdzie n dąży do nieskończoności zatem pole koła będzie prawie równe polu n-kąta więc:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n \to } a_n=1}\)