rozkład beta-dwumianowy

[studentkaPL]

Potrzbuje pomocy w wyprowadzeniu wzoru dla rozkładu beta-dwumianowego.

[rashi89]

Zeby wyprowadzic rozklad beta-dwumianowy trzeba cos o nim powiedziec. Byc moze sie da to krocej i najwyzej ktos Ci to napisze pozniej. Ja bym to zrobila w nastepujacy sposob:
1. Analiza podstawowych wlasnosci rozkladu beta.
rozklad beta \(\displaystyle{ (\alpha , \beta)}\) mozna otrzymac jako rozklad udzialu wartosci jednej z dwoch niezaleznych zmiennych losowych w ich sumie, gdy zmienne te maja rozklady gamma z ta sama wartoscia parametru. W ramach tej konstrukcji zakladamy ze zmienne \(\displaystyle{ X~( \alpha , v)}\)
oraz \(\displaystyle{ Y~( \beta , v)}\) sa niezalezne a interesujaca nas zmienna definiujemy jako \(\displaystyle{ U= \frac{X}{X+Y}}\) bedzie miala ona ten sam rozklad bez wzgledu na v. Dla uproszczenia przyjmiemy ze \(\displaystyle{ v=1}\). Korzystajac z twierdzenia o prawdopodobienstwie calkowitym dystrybuante zmiennej U na przedziele (0,1] wyznaczamy z
\(\displaystyle{ F_{U}(u)=P( \frac{X}{X+Y} \le u)=P(X \le \frac{u}{1-u}*Y)= \int_{0}^{ \infty } F_{X}( \frac{uy}{1-u})* f_{Y}(y)dy}\) a jej gestodc jako :
\(\displaystyle{ f_{U}(u)= \frac{ \partial }{ \partial u} \int_{0}^{ \infty } F_{X}( \frac{u}{1-u} *y)* f_{Y}(y)}\) po podstawieniu otrzymujemy ze \(\displaystyle{ f_{U}(u)= \int_{0}^{ \infty } \frac{1}{\Gamma( \alpha )}( \frac{uy}{1-u})^{ \alpha -1} exp(- \frac{uy}{1-u}) * \frac{y}{(1-u)^{2}} * \frac{1}{\Gamma( \beta )}y^{ \beta -1} exp(-y) dy}\)
po uporzadkowaniu podzieleniu i pomnozeniu przez odpowiedznie stale otrzymujemy :
\(\displaystyle{ f_{U}(u)= \frac{\Gamma( \alpha + \beta )}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} u^{\alpha -1} (1-u)^{\beta -1} \int_{0}^{ \infty } \frac{(1-u)^{-(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)} y^{\alpha + \beta -1} exp(- \frac{y}{1-u})du}\)
gdzie pod znakiem calki znajduje sie gestosc rozkladu gamma o paramatrach \(\displaystyle{ (\alpha + \beta ,(1-u)^{-1})}\) wobec tego nasz wynik (gestosc beta) - to wylaczone przed znak calki.
Mozna zauwazyc ze zachodzi swoista symetria rozkladow jesli zmienna U ma rozklad beta \(\displaystyle{ (\alpha ,\beta)}\) to zmienna (1-U) ma rozklad beta \(\displaystyle{ (\beta , \alpha)}\)

2. Byc moze uznasz ze 1 jest nie potrzebna ale na wszelki wypadek trzeba to wiedziec
tym razem interesowac nas bedzie laczla liczba szkod \(\displaystyle{ T(N)= \sum_{t=1}^{T}N_{t}}\)
w roli warunkowego rozkladu liczby szkod wystoapi rozklad dwumianowy (T,q) oraz zroznicowanie parametru ryzyka Q w populacji opisuje rozklad beta \(\displaystyle{ (\alpha, \beta)}\) Przy tych zalozeniach bezwarunkowy rozklad liczby szkod wyznaczamy :
\(\displaystyle{ P(N(T)=k)= \int_{0}^{1}P(N(T)=k|Q=q)*f_{Q}(q)dq =
\int_{0}^{1} {T \choose k} q^{k}(1-q)^{T-k} \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpga) \Gamma(\beta)} q^{\alpha -1}(1-q)^{\beta -1} dq}\)
skad po wylaczeniu przed znak calki odpowiednich czynnikow tak aby pod znakiem calki uzyskac gestosc beta \(\displaystyle{ (\alpha +k , \beta +T-k)}\) otrzymujemy rezultat
\(\displaystyle{ P(N(T)=k)= \frac{\Gamma(\alpha + \beta)T!}{\Gamma(\alpha + \beta +T)} \frac{\Gamma(\alpha +k)}{\Gamma(\alpha)k!} \frac{\Gamma(\beta +T - k)}{\Gamma(\beta)(T-k)!}}\)
\(\displaystyle{ =
\frac{ {\alpha+k-1 \choose k} {\beta+T-k-1 \choose T-k} }{ {\alpha + \beta +T-1 \choose T} }}\) otrzymalismy tak zwany rozklad beta - dwumianowy \(\displaystyle{ (\alpha , \beta , T)}\) zmiennej N(T)