Prawdopodobieństwo warunkowe

[klapej]

Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy oczek podzielnej przez trzy, jeżeli za pierwszym razem wyrzucono liczbę oczek podzielną przez dwa.

[darlove]

Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia sumy oczek podzielnej przez trzy, jeżeli za pierwszym razem wyrzucono liczbę oczek podzielną przez dwa.

Niech \(\displaystyle{ (X_1,X_2)}\) oznaczaja oczka w pierwszym rzucie i drugim, odpowiednio. Trzeba policzyc:

\(\displaystyle{ \Pr\left(3 \text{ dzieli } X_1+X_2\;|\;2 \text{ dzieli } X_1\right) =
\frac{\Pr\left(3 \text{ dzieli } X_1+X_2 \:\wedge\: 2 \text{ dzieli } X_1\right)}
{\Pr\left(2 \text{ dzieli } X_1\right)} = \frac{1}{3},}\)

bo

\(\displaystyle{ \Pr\left(3 \text{ dzieli } X_1+X_2\;|\;2 \text{ dzieli } X_1\right) = \\
\Pr\left(X_1+X_2=3p \text{ dla jakiegos } p\:\wedge\:X_1=2k \text{ dla jakiegos } k\right) = \\
\Pr\left(X_2=3p-2k\:\wedge\:X_1=2k \text{ dla jakichs } p,k\right) = \\
\frac{1}{36}\sum_{k=1}^{3}\sum_{p\in\left[\frac{1+2k}{3},2+\frac{2k}{3}\right]} 1 = \\
\frac{1}{36}\sum_{k=1}^{3}\sum_{p=k}^{k+1} 1 = \\
\frac{1}{36}\sum_{k=1}^{3} 2 = \frac{2}{36}\cdot\sum_{k=1}^3 1 = \frac{2\cdot 3}{36} = \frac{1}{6},}\)

i

\(\displaystyle{ \Pr( 2 \text{ dzieli } X_1 ) = \sum_{k=1}^3 \Pr(X_1=2k) = \frac{1}{6}\cdot 3 = \frac{1}{2}}\),

co po podstawieniu daje \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).

[klapej]

Czy wynik to nie \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) ? Kombinacje, które nas interesują: \(\displaystyle{ (2;1), (2;4), (4;2), (4;5), (6;3), (6;6)}\)... Ponieważ ilość wszystkich kombinacji wynosi \(\displaystyle{ 6^{2}}\), zatem \(\displaystyle{ \frac{6}{36} = \frac{1}{6}}\)

[darlove]

Czy wynik to nie \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\) ? Kombinacje, które nas interesują: \(\displaystyle{ (2;1), (2;4), (4;2), (4;5), (6;3), (6;6)}\)... Ponieważ ilość wszystkich kombinacji wynosi \(\displaystyle{ 6^{2}}\), zatem \(\displaystyle{ \frac{6}{36} = \frac{1}{6}}\)

Pytasz, bo nie rozumiesz wyprowadzenia? Wynik to 1/3.