Problem Czebyszewa

[rubik1990]

Licznik i mianownik ułamka są liczbami wybranymi z ciągu liczb naturalnych w sposób losowy i niezależnie jedna od drugiej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ułamek jest nieskracalny?

Szczerze powiedziawszy to w ogóle nie wiem od czego zacząć. Liczę na jakieś wskazówki

[darlove]

Zadanie jest zle sformulowane. Nie istnieje rozklad jednostajny na wszystkich liczbach naturalnych.

[rubik1990]

No nie wiem. Odpowiedź do tego zadania wynosi \(\displaystyle{ \frac{6}{\pi ^{2}}}\) i samo zadanie było umieszczone w rozdziale o prawdopodobieństwie warunkowym gdzie jeszcze nic nie wiadomo o jakichkolwiek rozkładach więc wątpię że jest źle sformułowane ale nie będę się kłócił bo się nie znam...

[xiikzodz]

Problem można zinterpretować tak:

Niech \(\displaystyle{ P_n}\) oznacza prawdopodobieństwo wybrania dwóch liczb względnie pierwszych ze zbioru \(\displaystyle{ [n]=\{1,2,\ldots,n\}}\). Wyznacz \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} P_n}\).

Losowanie można wykonać następująco. Najpierw wybieramy z \(\displaystyle{ [n]}\) większą z dwoch liczb, co odbywa się na \(\displaystyle{ n}\) sposobów, oznaczamy tę liczbę \(\displaystyle{ k}\) i potem na \(\displaystyle{ k}\) sposobów wybieramy mniejszą z pary liczb. Wśród tych \(\displaystyle{ k}\) możliwych liczb względnie pierwszych z \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ \varphi(k)}\). Zatem \(\displaystyle{ P_n=\sum_{k=1}^n\frac{\varphi(k)}{nk}}\). Tak się wygodnie składa, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{\varphi(k)}{nk}=\frac{6}{\pi^2}}\), co jest znanym, ale niezupełnie trywialnym wynikiem z teorii liczb.

[rubik1990]

No to wygląda już nieźle i nawet podobnie robiłem tylko nie wiedziałem jak pokazać że ta suma tyle wynosi. W odpowiedziach jest jednak taki iloczyn(nie jest napisane oczywiście skąd się wziął) :
\(\displaystyle{ \prod_{n=0}^{}(1-\frac{1}{k^{2}})}\) gdzie mnożenie jest wykonywane po wszystkich liczbach pierwszych. Domyślam się że to co jest pod iloczynem też ma jakiś związek z funkcją \(\displaystyle{ \varphi}\) ale nie wiem jaki. Sam dowód że ten iloczyn jest równy \(\displaystyle{ \frac{6}{\pi ^{2}}}\) mnie nie interesuje (przynajmniej na razie ) ale chciałbym wiedzieć jak do niego dojść?

[max]

Tu jest coś na temat interpretacji podanej przez xiikzodz, co jakiś czas temu wydawało mi się prawdziwe, a dzisiaj nie mam czasu tego sprawdzić.