Oblicz prawdopodobieństwo

[54321]

Ze zbioru Z={-1,0,1,2,3} losujemy kolejno bez zwracania współczynniki a,b,c funkcji\(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c}\) Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
a)A-otrzymana funkcja jest malejąca w zbiorze R
b)B-otrzymana funkcja jest malejąca w przedziale \(\displaystyle{ x \in (- \infty ;-1)}\) i rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ x \in (-1; \infty )}\)
c)C- prosta o równaniu x=0 jest osią symetrii wykresu otrzymanej funkcji

[mat_61]

Wskazówka:

Na początek określ jakie wartości mogą mieć liczby a, b i c aby były spełnione warunki dla kolejnych przykładów. Np.:

a) a=...? b=...? c=...?

[Tacit]

A:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \Omega}\) Jest wariacją bez powtórzeń tych liczb:
\(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}}=W ^{3} _{5}=60}\)
Zdarzenie A wygląda następująco: \(\displaystyle{ a=0}\) i \(\displaystyle{ b<0}\), gdyż \(\displaystyle{ f}\) ma być malejąca. \(\displaystyle{ c}\) jest dowolna. Czyli mamy liczby: \(\displaystyle{ a=0,\ b= -1,\ c- dowolna}\)
\(\displaystyle{ A=1 \cdot 1 \cdot 3=3}\)
czyli:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{3}{60}= \frac{1}{20}}\)

B:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \Omega}\) jest ta sama. By \(\displaystyle{ f}\) spełniała warunek musi mieć wierzchołek równy \(\displaystyle{ -1}\), czyli:
\(\displaystyle{ p= \frac{-b}{2a}}\) Za \(\displaystyle{ p}\) podstawiasz \(\displaystyle{ -1}\) wychodzi \(\displaystyle{ b=2a}\). Ten warunek spełniają liczby: \(\displaystyle{ a=1}\), \(\displaystyle{ b=2}\), \(\displaystyle{ c - dowolne}\). Prawdopodobieństwo wychodzi takie samo jak w punkcie A.

C:

Ukryta treść:    

By osią symetrii było \(\displaystyle{ x=0}\) to \(\displaystyle{ b=0}\). Wtedy funkcja przyjmuje postać \(\displaystyle{ x^{2}\pm c}\), czyli funkcja jest przesuwana góra-dół. Mamy więc \(\displaystyle{ b=0 , \ a,\ c - dowolne}\). \(\displaystyle{ a, \ c}\) losujemy na \(\displaystyle{ 4 \cdot 3}\)

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{1 \cdot 4 \cdot 3}{60}= \frac{12}{60} = \frac{1}{5}}\)

Mam nadzieję, że pomogłem.