Losowanie kart

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
kon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 11 cze 2009, o 13:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Losowanie kart

Post autor: kon »

Witam!
Zadanie nieskomplikowane ale nie umiem tego zrobić jednym prostym rachunkiem:
Zad.
Z talii 60 takich samych kart zostały wybrane 3, które następnie oznaczono.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród losowo wyciągniętych 15 kart z tej talii, znajdzie się przynajmniej jednak karta oznaczona?
b) tak jak w punkcie a, tylko, że tym razem jeśli nie uda się wyciągnąć karty oznaczonej odkładamy 10 kart i z pośród pozostałych 50 znów losujemy 10 kart (przynajmniej ja tak to rozumiem xD). Jakie jest wtedy prawdopodobieństwo, wylosowania karty oznaczonej?

czy można a) zrobić tak:
1)\(\displaystyle{ {60\choose 15}}\) - wszystkie zdarzenia


2)\(\displaystyle{ {57\choose 15}}\) - wszystkie zdarzenia gdy ani razu nie wybierzemy karty oznaczonej
i teraz
1 - (stosunek 2 do 1)
to jest szukane prawdopodobieństwo? Jest jakiś prostszy sposób?

a w punkcie b) nie za bardzo wiem - te prawdopodobieństwa będą się po prostu dodawać z drzewka?
Z góry dzięki za pomoc
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Losowanie kart

Post autor: mat_61 »

Moce zbioru Omega oraz A' masz obliczone poprawnie.

a) masz obliczyć p-stwo, że co najmniej 1 karta (czyli 1, 2 lub 3) będzie oznaczona. Zdarzenie przeciwne to zdarzenie, że żadna karta nie będzie oznaczona, czyli dla punktu a) powinno być:

\(\displaystyle{ P(A)=1- \frac{ {57 \choose 15} }{ {60 \choose 15} }}\)

b) tutaj nie do końca jest jasna treść tego punktu (czy napisałeś ją dosłownie tak jak było w treści oryginalnego zadania?).
Czy te 10 kart odkładamy z tych wylosowanych 15?
Napisałeś, że spośród 50 znów losujemy 10 (ale dlaczego znów skoro wcześniej losowaliśmy 15?)
Czy wtedy mamy obliczyć p-stwo wylosowania jednej oznaczonej karty, czy tak jak wcześniej przynajmniej jednej?
kon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 11 cze 2009, o 13:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Losowanie kart

Post autor: kon »

B)
tak, rzeczywiście - trochę się pośpieszyłem i nie ustrzegłem się błędu logicznego. Powinno być, że po wylosowaniu 15 kart odkładamy z nich 10. pozostałe pięć wtasowujemy z powrotem i z pozostałych 50 kart znów losujemy, ale tym razem tylko 10 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy przynajmniej jedną kartę znaczoną?
i teraz tak:
1) liczę prawdopodobieństwo tak samo jak w przypadku a) raz dla 15 kart z 60 (P(A)), raz dla 10 kart z 50 (P(B)).
i sumuję w ten sposób:

P(A) + (1-P(A))*P(B)

i wychodzi mi szukane prawdopodobieństwo - dobrze myślę?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Losowanie kart

Post autor: mat_61 »

Nie za bardzo.

Jeżeli doświadczenie składa się z dwóch niezależnych doświadczeń X i Y to ich iloczyn jest równy iloczynowi p-stw, czyli:

\(\displaystyle{ P(X \cap Y)=P(X) \cdot P(Y)}\)

Doświadczenie z punktu b) można zapisać jako: wylosowanie karty nieoznaczonej w I losowaniu i wylosowanie co najmniej jednej karty oznaczonej w drugim losowaniu. Wówczas:

\(\displaystyle{ P(B)=P(B1) \cdot P(B2)}\) gdzie:

B1: wylosowanie karty nieoznaczonej w I losowaniu
B2: wylosowanie co najmniej jednej karty oznaczonej w drugim losowaniu

Oczywiście \(\displaystyle{ P(B1)=1-P(A)}\)

Natomiast \(\displaystyle{ P(B2)}\) najprościej obliczyć jako p-stwo zdarzenia przeciwnego \(\displaystyle{ P(B2)=1-P(B2')}\)

Jak masz jeszcze jakieś wątpliwości to napisz swoje rozwiązanie.
kon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 11 cze 2009, o 13:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Losowanie kart

Post autor: kon »

No właśnie - zadanie jest jakoś beznadziejnie sformułowanie można je różnie interpretować. Bo ja założyłem, że sprawa ma się tak:
1) losujemy z 60 kart i sprawdzam jakie jest prawdopodobieństwo, że wtedy wylosuje przynajmniej jedną kartę oznaczoną.
2) następnie mam taką jakby "dodatkową szansę" i losuję z tej 50- kartkowej talii.

W sumie więc prawdopodobieństwo musi wyjść większe niż w punkcie a)

i próbowałem rozwiązać z drzewka - czyli w przełożeniu na język: liczę jakie jest prawdopodobieństwo, że za pierwszym lub drugim losowaniem wylosuję przynajmniej jedną kartę (i to prowadzi do rachunków jak w moim poście powyżej). No i założyłem (nie wiem, czy słusznie), że to drugie prawdopodobieństwo liczę dla przypadku gdy za pierwszym razem nie wylosowałem ani jednej karty znaczonej - aby otrzymać jak najwyższy wynik. Czy przy takiej "interpretacji" (jakkolwiek głupio by to nie brzmiało) ma to sens?
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Losowanie kart

Post autor: mat_61 »

Nie bardzo ma sens to co napisałeś albo dokładniej, to co piszesz w kolejnych zdaniach to różne, sprzeczne ze sobą rzeczy.

W treści zadania masz napisane tak:
b) tak jak w punkcie a, tylko, że tym razem jeśli nie uda się wyciągnąć karty oznaczonej odkładamy 10 kart i z pośród pozostałych 50 znów losujemy 10 kart
Oznacza to dokładnie niewyciągnięcie znaczonej karty za pierwszym razem i wyciągnięcie co najmniej jednej znaczonej karty za drugim razem Nie ma co kombinować z innymi interpretacjami.

A Ty później piszesz tak:
kon pisze:1) losujemy z 60 kart i sprawdzam jakie jest prawdopodobieństwo, że wtedy wylosuje przynajmniej jedną kartę oznaczoną.
2) następnie mam taką jakby "dodatkową szansę" i losuję z tej 50- kartkowej talii.
Punkt 1) dotyczy tylko przykładu a).
Dla przykładu b) masz drugą szansę wtedy gdy za pierwszym razem nie wylosujesz znaczonej karty.
kon pisze:W sumie więc prawdopodobieństwo musi wyjść większe niż w punkcie a)
A niby dlaczego?
Punkty a) i b) to są osobne przykłady. Zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu z punktu b) to nie jest przecież zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu z punktu a) plus coś dodatkowego.
kon pisze:w przełożeniu na język: liczę jakie jest prawdopodobieństwo, że za pierwszym lub drugim losowaniem wylosuję przynajmniej jedną kartę (i to prowadzi do rachunków jak w moim poście powyżej).
Całkowicie źle przełożyłeś na język zdarzenie z zadania (pomijając już to, że nawet dla takiej interpretacji Twoje rozwiązanie jest niepoprawne). To co napisałeś (z tym lub) to byłoby całkowicie inne zadanie. Oznaczałoby wylosowanie za I razem co najmniej 1 znaczonej karty i nieznaczonej za II razem lub nieznaczonej za I i co najmniej 1 znaczonej za II lub co najmniej 1 znaczonej za I i co najmniej 1 znaczonej za II razem.
kon pisze:No i założyłem (nie wiem, czy słusznie), że to drugie prawdopodobieństwo liczę dla przypadku gdy za pierwszym razem nie wylosowałem ani jednej karty znaczonej - aby otrzymać jak najwyższy wynik. Czy przy takiej "interpretacji" (jakkolwiek głupio by to nie brzmiało) ma to sens?
Zauważ, że w dwóch powyższych cytatach piszesz dwie odmienne rzeczy. Raz piszesz: liczę jakie jest prawdopodobieństwo, że za pierwszym lub drugim losowaniem wylosuję przynajmniej jedną kartę a jedno zdanie dalej, że to drugie prawdopodobieństwo liczę dla przypadku gdy za pierwszym razem nie wylosowałem ani jednej karty znaczonej
kon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 11 cze 2009, o 13:22
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Losowanie kart

Post autor: kon »

ajajaj... No oczywiście zgadzam się ze wszystkim.

Próbowałem policzyć prawdopodobieństwo, że po dwóch losowaniach, wylosuję przynajmniej jedną kartę. Uznałem, że jej wylosowanie to stan "do którego dążymy". Więc chciałem tylko sprawdzić z jakim największym prawdopodobieństwem może nam się to udać. Dlatego przyjąłem niejako, że losuję karty za pierwszym razem i jeśli uda się ją wylosować, to kończę. Jeśli nie, to losuje z 50 kart. Dla takiej sytuacji liczyłem i wydaje mi się całkiem sensownie (?), ale rzeczywiście masz racje - twój sposób rozwiązania jest bardziej adekwatny i oczywiście dziękuję bardzo za pomoc!
ODPOWIEDZ