Wielowymiarowy rozkład normalny

[acmilan]

Proszę o rozwiązanie takiego zadania.

Wektor losowy \(\displaystyle{ (X,Y)}\) ma rozkład o gęstości:
\(\displaystyle{ g(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2}\pi}exp(-\frac{x^{2}-2xy+3y^{2}}{2})}\)

Znajdź macierz kowariancji wektora \(\displaystyle{ (X,Y)}\)

Z góry dziękuję za pomoc

[Kamil_B]

Jeśli tam jest \(\displaystyle{ 3y^3}\) to może być problem.
A jeśli jest \(\displaystyle{ 3y^2}\), to można skorzystać np. z tego, że \(\displaystyle{ (X,Y)~\mathcal{N}((m_1,m_2),Q)}\) gdzie \(\displaystyle{ Q=\left[\begin{array}{ccc}Var(X)&Cov(x,y)\\Cov(X,Y)&Var(Y)\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) gdy ma gęstość postaci:

\(\displaystyle{ g(x,y)=\frac{1}{2\pi \sqrt{(Var(X)Var(Y))(1-p^2)}} \exp \left ( {-\frac{1}{2(1-p^2)} \left(\frac{(x-m_1)^2}{(VarX)^2} + \frac{(y-m_2)^2}{(VarY)^2}-\frac{2p(x-m_1)(y-m_2)}{VarX VarY} \right )} \right )}\)

gdzie \(\displaystyle{ p=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{VarX VarY}}}\)

[acmilan]

Tak pomyliłem się, tam jest \(\displaystyle{ y^{3}}\), a nie \(\displaystyle{ y^{2}}\).

A mógłbyś dla przykładu policzyć VarX? Albo chociaż EX?

Pozdrawiam i dziękuję za szybką odpowiedź.

[Kamil_B]

Jeśli się nie mylę, to widać, że \(\displaystyle{ m_1=m_2=0}\). Natomista \(\displaystyle{ VarX, VarY, p}\) obliczasz przyrónując odpowiednie wyrażenia w obu wzorach na gęstość.

[acmilan]

A z czego widać że EX i EY=0?

[Kamil_B]

Z bezczelnego przyrównania odpowiednich wyrażeń: \(\displaystyle{ x^2}\) oraz \(\displaystyle{ (x-m_1)^2}\), analogicznie dla y.
Jeśli jednak byłaby to przypadkiem nieprawda, to trzeba rozpisać podany wzór i wtedy przyrównywać współczynniki obu wielomianów.