Zadanie :
Jest takie więzienie w którym każdego dnia skazany rzuca monetą. Jeśli wypadnie reszka skazanemu odejmuje się jeden dzień z wyroku. Pewien złodziej dostał karę 100 dni odsiadki w tym więzieniu.
1) Ile dni w więzieniu spędzi złodziej z największym prawdopodobieństwem ?
2) Proszę podać wzór na prawdopodobieństwo N-dni spędzonych w więzieniu ?
Prawdopodobieństwo: ilości dni w więzieniu
-
darlove
- Użytkownik
- Posty: 218
- Rejestracja: 20 gru 2007, o 12:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Londyn
- Pomógł: 39 razy
Prawdopodobieństwo: ilości dni w więzieniu
Witam. To zadanko nie jest takie proste, jakby się mogło niektórym wydawać. Najpierw oznaczenia:
\(\displaystyle{ I_k=1}\), jesli w dniu \(\displaystyle{ k}\)-tym wylosowano reszke, \(\displaystyle{ 0}\) w przeciwnym razie. Niech \(\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n I_k}\) oznacza ile bylo w sumie reszek do dnia \(\displaystyle{ n}\)-tego (wlacznie z rzutem w tym dniu). Niech \(\displaystyle{ D}\) bedzie zmienna losowa, ktora podaje ilosc dni, ktore wiezien spedzil w wiezieniu.
Czym jest zdarzenie \(\displaystyle{ \{D=n\}}\)? Otoz wiezien odsiedzi \(\displaystyle{ n}\) dni tylko wowczas, gdy: \(\displaystyle{ 100-S_n=n}\) lub \(\displaystyle{ 100-S_n=n+1 \wedge I_{n+1}=1}\). Zatem
\(\displaystyle{ \Pr\{100-S_n=n\}={n \choose {100-n}}\frac{1}{2^n}}\)
\(\displaystyle{ \Pr\{100-S_n=n+1 \wedge I_{n+1}=1\}=\Pr\{100-S_n=n+1\}\Pr\{I_{n+1}=1\}={n \choose {99-n}}\frac{1}{2^{n+1}}}\)
Jesli to dodamy (i pomieszamy troche), to dostaniemy:
Policzyc, dla ktorego \(\displaystyle{ n}\) to prawd. jest najwieksze, nie jest latwo. Maple daje odpowiedz: \(\displaystyle{ 66}\), a wartosc tego prawd. wynosi wowczas okolo \(\displaystyle{ 14.39\%}\). Wartosc oczekiwana podana przez Maple'a wynosi \(\displaystyle{ 66.(5)}\).
\(\displaystyle{ I_k=1}\), jesli w dniu \(\displaystyle{ k}\)-tym wylosowano reszke, \(\displaystyle{ 0}\) w przeciwnym razie. Niech \(\displaystyle{ S_n=\sum_{k=1}^n I_k}\) oznacza ile bylo w sumie reszek do dnia \(\displaystyle{ n}\)-tego (wlacznie z rzutem w tym dniu). Niech \(\displaystyle{ D}\) bedzie zmienna losowa, ktora podaje ilosc dni, ktore wiezien spedzil w wiezieniu.
Czym jest zdarzenie \(\displaystyle{ \{D=n\}}\)? Otoz wiezien odsiedzi \(\displaystyle{ n}\) dni tylko wowczas, gdy: \(\displaystyle{ 100-S_n=n}\) lub \(\displaystyle{ 100-S_n=n+1 \wedge I_{n+1}=1}\). Zatem
\(\displaystyle{ \{D=n\}=\{100-S_n=n\} \cup \{100-S_n=n+1 \wedge I_{n+1}=1\}}\).
i te dwa zdarzenia po prawej stronie sa rozlaczne. Czyli:\(\displaystyle{ \Pr\{D=n\}=\Pr\{100-S_n=n\} + \Pr\{100-S_n=n+1 \wedge I_{n+1}=1\}}\).
Dalej mamy:\(\displaystyle{ \Pr\{100-S_n=n\}={n \choose {100-n}}\frac{1}{2^n}}\)
\(\displaystyle{ \Pr\{100-S_n=n+1 \wedge I_{n+1}=1\}=\Pr\{100-S_n=n+1\}\Pr\{I_{n+1}=1\}={n \choose {99-n}}\frac{1}{2^{n+1}}}\)
Jesli to dodamy (i pomieszamy troche), to dostaniemy:
\(\displaystyle{ \Pr\{D=n\}=\frac{1}{2^{n+1}}\left({n\choose {100-n}}+{{n+1}\choose{100-n}}\right)}\),
gdzie \(\displaystyle{ n}\) przebiega wartosci od \(\displaystyle{ 50}\) do \(\displaystyle{ 100}\).Policzyc, dla ktorego \(\displaystyle{ n}\) to prawd. jest najwieksze, nie jest latwo. Maple daje odpowiedz: \(\displaystyle{ 66}\), a wartosc tego prawd. wynosi wowczas okolo \(\displaystyle{ 14.39\%}\). Wartosc oczekiwana podana przez Maple'a wynosi \(\displaystyle{ 66.(5)}\).