Pokazanie funkcji charakterystycznej.

[moniczkaam]

Bardzo proszę o pomoc przy zadaniu :

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_1,X_2,...}\) są niezależne i mają tę samą funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ \varphi (t)}\). Zmienna losowa N jest od nich niezależna i ma rozkład Poissona \(\displaystyle{ P(\lambda)}\). Wykazać, że losowa suma \(\displaystyle{ X_1+...+X_N}\) ma funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ exp[\lambda( \varphi (t) -1 )]}\).

Z gory dziekuje za pomoc

[luka52]

Niech \(\displaystyle{ S_N = X_1 + \ldots + X_N}\), wtedy:

\(\displaystyle{ \mathbb{E} (e^{itS_N}) = \sum_{k = 0}^{+\infty} P(N = k) \mathbb{E} (e^{itS_k}) = \sum_{k = 0}^{+\infty} \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \varphi^k(t) = e^{\lambda(\varphi(t) - 1)}}\)

[moniczkaam]

aha czyli to bylo takie proste przejscie? wystarczy zsumowac jakby po wszystkich mozliwych N ? ja sie wlasnie zastanawialam gdzie tu wbic jakies warunkowe prawdopodobienstwo ...

[a27100g]

Mam pytanie co do tego rozwiązania. Otóż ten indeks losowy czyli N moze przyjmować wartości od 0 wzwyż. Natomiast suma losowa której mamy policzyć funkcję char ma postać \(\displaystyle{ }\)X _{1}+X _{2}+...+X _{N} . Licząc funk charak wg tego co jest napisane to będzie pojawiać się \(\displaystyle{ X _{0}}\). Co z tym zrobić? Nawet jeśli przyjmę sobie jak w książce jakubowski, sztelcel ,ze , to i tak mi nie wychodzi .
Z góry dzięki za odp.

[norwimaj]

a27100g, a gdzie tam się pojawia \(\displaystyle{ X_0}\)? Ja nie widzę.

[a27100g]

No jak gdzie? suma zaczyna się od \(\displaystyle{ k=0}\) czyli
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}P(N=k)Es^{itS_{k}}=P(N=0)Ee ^{itX _{0}}+P(N=1)Ee ^{it(X _{0}+X _{1})}+ P(N=2)Ee ^{it(X _{0}+X _{1}+X_{2})}+....= P(N=0)Ee ^{itX _{0}}+P(N=1)Ee ^{itX _{0}}Ee^{itX _{1}}+ P(N=2)Ee ^{itX _{0}}Ee^{itX _{1}}Ee^{itX_{2}}+....=?}\)
No i teraz tam gdzie mam \(\displaystyle{ Ee^{itX_{1}},Ee^{itX_{2}},Ee^{itX_{3}},....}\) to to jest funkcjami charakterystycznymi zmiennych \(\displaystyle{ X_{1},X_{2},X_{3},....}\), ktore wszystkie z tresci zad są równe fi. A co z \(\displaystyle{ X_{0}}\)? Jeśli sobie przyjmę,ze też ma f. char równą fi , to dostaję:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}P(N=k)Es^{itS_{k}}= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}fi^{k+1}(t)}\).
Więc coś źle robię.

[norwimaj]

Źle.

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty}P(N=k)Es^{itS_{k}}=\\\\
P(N=0)Ee ^{itS_0}+P(N=1)Ee ^{itS _1}+ P(N=2)Ee ^{itS_2}+\ldots=\\\\
P(N=0)Ee ^{it\cdot0}+P(N=1)Ee ^{itX_1}+ P(N=2)Ee ^{it(X_1+X_2)}+\ldots}\)

Nigdzie tu nie ma \(\displaystyle{ X_0}\).

[a27100g]

Czyli,ze \(\displaystyle{ S_{0}=0}\) na mocy umowy, ze \(\displaystyle{ \sum_{i \in \emptyset}X_{i}=0}\). TAk?