Witam, chciałbym prosić o pomoc przy dwóch zadaniach, gdyż nie jestem pewien ich rozwiązania. Będę bardzo wdzięczny za pomoc.
Zadanie 1
\(\displaystyle{ f(x,y)=\left\{\begin{array}{l} e ^{-x-y}\ gdy\ x>0, \ y>0 \\0 \ w \ pozostałych przypadkach \end{array}}\)
Obliczyć:
a)\(\displaystyle{ P(1<X<2, \ 1<Y<2),}\)
b)\(\displaystyle{ P(X+Y>2),}\)
c)\(\displaystyle{ P(X>3|Y<1)}\)
Dystrybuanty zmiennych X i Y to:
\(\displaystyle{ F _{Y} (y)= 1-e^{-y}}\)
\(\displaystyle{ F_{X}(x)=1-e^{-x}}\)
a) wydaje się proste - \(\displaystyle{ \int\limits_{1}^{2} \int\limits_{1}^{2} e ^{-x-y}dydx}\) - poprawcie mnie proszę jeśli się mylę
b) \(\displaystyle{ X+Y=Z, P(Z>2) = 1-P(Z<2)}\) Moje pytanie brzmi jak otrzymać wzór dystrybuanty zmiennej \(\displaystyle{ Z}\) będącej sumą zmiennych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)?
c) Czy chodzi po prostu o:
\(\displaystyle{ P(X>3|Y<1)=(1-F _{X}(3) ) \cdot F _{Y}(1)}\), wiedząc, że zmienne X i Y są niezależne (wynika z dystrybuant zmiennych X i Y)?
Zadanie 2
Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma funkcję gęstości:
\(\displaystyle{ f(x,y)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{8} x(x-y)\ gdy \ 0<x<2, \ -x<y<x \\0 \ w \ pozostałych przypadkach \end{array}}\)
Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z=2X-3Y}\)
Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ EZ=E(2X-3Y)=E2X - E3Y = 2EX - 3EY}\)
Mój problem w tym zadaniu polega na tym, że nie wiem jak policzyć \(\displaystyle{ EY}\), ponieważ wychodzi mi taka oto nienajszczęśliwsza całka:
\(\displaystyle{ EY=\int\limits_{-x}^{x} y \cdot f _{Y}(y)dy = \int\limits_{-x}^{x} y \cdot ( \frac{1}{3}- \frac{1}{4}y) \cdot dy = ... = -\frac{1}{6}x^{3}}\) - zapewne błąd leży w przedziale całkowania?
-- 14 lutego 2011, 13:26 --
Help, potrzebuję Was! -- 14 lutego 2011, 13:48 --Podbijam z prośbą o rozwiązanie