urna z kulami

[ricky123]

Witam,

W urnie znajduje się 9 kul czarnych, 5 niebieskich, 4 zielone i 2 białe.
A) jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej przy pierwszym losowaniu jednej kuli
B) jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej kuli przy drugim losowaniu jednej kuli zakładając, że przy pierwszym nie została wylosowana kula niebieska a wszystkie kule o kolorze w jakim została wylosowana nie biorą udziału w losowaniu drugiej kuli.

Właściwie z punktem A to nie ma problemu bo prawdopodobieństwo takiego zdarzenia to
\(\displaystyle{ P(A) = \frac{5}{20}=0,25}\)
czyli 25% szansy na to że za pierwszym losowaniem wylosujemy kulę niebieską.
A co do punktu B to już mam problem bo najpierw za pierwszym losowaniu nie wylosuje niebieskiej czyli (P(negacja A))=0,75
Wychodzi mi takie coś, muszę rozpatrzyć trzy przypadki: najpierw wylosowałem kule czarną więc wszystkie o tym kolorze wyłączam z losowania drugiej kuli tak więc w urnie zostaje 11 kul, prawdopodobieństwo że wylosuje niebieską to 5/11 itd dla kul o kolorze zielonym i białym

\(\displaystyle{ P(B) = \frac{Liczba kul niebieskich}{Suma kul - Liczba kul czarnych} + \frac{Liczba kul niebieskich}{Suma kul - Liczba kul zielonych} + \frac{Liczba kul niebieskich}{Suma kul - Liczba kul białych} = \frac{5}{20-9} + \frac{5}{20-4} + \frac{5}{20-2} = 0,4545 + 0,3125 + 0,2778 = 1,0448}\)

Tylko coś mi się tu nie podoba bo to prawdopodobieństwo tego zdarzenia wyszło ponad 1.
Co tu robię źle?

[sigmaIpi]

Nie wymnażasz poszczególnych składników przez prawdopodobieństwa wylosowania odpowiednio kuli czarnej zielonej i białej. Narysuj drzewko to od razu zobaczysz wzór.

[ricky123]

Dzięki wielkie sigmaIpi za podpowiedź.
Rzeczywiście pomogło rozrysowanie drzewka, mam nadzieję, że teraz to dobrze narysowałem i obliczyłem.
Na początku pierwsze losowanie - odrzucam prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej, następnie od każdego innego koloru niż niebieski rysuję kreskę, która pokazuje losowanie drugi raz kuli (tym razem niebieskiej) i poniżej wypisuje prawdopodobieństwo jej wylosowania. Suma iloczynów daje mi wynik prawdopodobieństwo wylosowania, czy tak jest dobrze?



Teraz próbuje jeszcze wyprowadzić sobie taki gotowy wzorek dla tego typu zadań jak z pkt B w zależności od ilości kul i kolorów w urnie.

[sigmaIpi]

Nie jest dobrze. prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej w pierwszym losowaniu wynosi 0. Zakładasz przecież, że nie została ona wylosowana.

Drugi poziom zrobiłeś dobrze. Natomiast wartości prawdopodobieństw w górnej części wynoszą odpowiednio: \(\displaystyle{ 0, \frac{9}{15},\frac{2}{15},\frac{4}{15}}\). (Patrząc od lewej).


próby wyprowadzenia gotowego wzoru są godne pochwały, natomiast skazane na porażkę. Jedno słowo w zadaniu zmienia zupełnie istotę rzeczy i tylko sobie kuku zrobisz jak będziesz chciał z nich korzystać- przy założeniu, że dojdziesz do czegoś konkretnego. Tym niemniej powodzenia!

[Frey]

sigmaIpi, Czemu zakładasz, że niebieskiej kuli nie można wylosować w pierwszym losowaniu?

Moim zdaniem interpretacja zadania polega, na tym, że to zdarzenie może wystąpić, ale po prostu nie wystąpiło. Są dwa losowania kul i po prostu chodzi nam jedynie o prawdopodobieństwo "dodatkowe" wynikające z drugiego losowania.

Przynajmniej tak jak rozumiem treść zdania. Że coś nie zostało wylosowane, nie znaczy, że nie mogło zostać wylosowane - przynajmniej taki logicznie się wydaje.

[sigmaIpi]

Zakładam na tej podstawie, że raptem kilka dni temu siedziałam ze zbiorem zadań i stukałam zadanka, w tym maturalne. I właśnie tego typu treści były tam tak interpretowane.

W pierwszym "odruchu" interpretowałam tak jak ty.

To jest niestety przekleństwo zadań z prawdopodobieństwa- jedno słowo zmienia wszystko.

Tutaj jednak należałoby się przypatrzeć poziomom drzewka i stwierdzić, że:
1. Jeśli ja mam rację, to prawdopodobieństwa przy górnych gałęziach są złe.
2. Jeśli ty masz rację to źle są policzone prawdopodobieństwa przy dolnych gałęziach.

Tak czy siak jest źle.

Zresztą, gdybyś miał rację to informacja w zadaniu o tym, że za pierwszym razem niebieskiej kuli nie wylosowano byłaby bez sensu.

Mam nadzieję, że twierdzenie o lokalnych geniuszach to sygnatura...

[Frey]

Serio tak jest interpretowane to zdanie. Naprawdę powinni inaczej to sformułować. Idąc takim tropem to ciekawe czy jak w 1 losowaniu wylosowano jakąś kulę to ze zwracaniem czy bez. Ta informacja nie byłby bez sensu.

No nic nie będę się spierał skoro komisja maturalna chce je tak interpretować ich sprawa.

Coś w mojej sygnaturze jest nie tak?

[sigmaIpi]

No właśnie nie ma znaczenia czy zwracają czy nie- bo kolor wylosowany za pierwszym razem nie bierze udziału w losowaniu. Z faktem, że zadania często są źle sformułowane się zgadzam.

[ricky123]

No tak, zakładam, że ona nie została wylosowana w pierwszym losowaniu, ale kule niebieskie są w tym pojemniku bo w zadaniu nic nie jest napisane, że one nie biorą w losowaniu w przeciwieństwie do drugiego losowania gdzie jest napisane, że wszystkie inne kule o kolorze kuli wylosowanej w pierwszym losowaniu nie biorą udziału w losowaniu, więc wydaje mi się, że istniało jakieś prawdopodobieństwo wylosowania kuli niebieskiej w pierwszym losowaniu-ale ponieważ ono nas nie interesuje więc je pomijamy.
Niemniej jednak teraz mam mętlik w głowie i nie wiem które rozwiązanie jest prawidłowe.

[sigmaIpi]

Przy tak sformułowanym zadaniu informacja, że za pierwszym razem NIE wylosowano kuli niebieskiej MA znaczenie. Bez niej to jest zupełnie inne zadanie- właśnie takie jak rozwiązał ricky na skanie.

[mat_61]

Jeżeli chodzi o to zadanie to uważam, że jego treść jest zapisana jak najbardziej poprawnie i jednoznacznie (czego faktycznie nie da się tego powiedzieć o wielu innych zadaniach z prawdopodobieństwa).

Oczywiście zwrot z zadania: "zakładając, że przy pierwszym nie została wylosowana kula niebieska" ma istotne znaczenie bo oznacza p-stwo warunkowe. To jest to samo co zwrot: "pod warunkiem, że przy pierwszym nie została wylosowana kula niebieska".

Dlatego też rozwiązanie wykorzystujące p-stwo warunkowe jest wg mnie najbardziej "czytelne".

\(\displaystyle{ P(A/B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}}\)

gdzie:

A: wylosowano kulę niebieską za II razem
B: wylosowano kulę nieniebieską za I razem

Wówczas \(\displaystyle{ P(A \cap B)}\) to jest to co wyliczył (na skanie) ricky123 natomiast \(\displaystyle{ P(B)=0,75}\) (to jest chyba jasne)

Oczywiście rozwiązanie podane przez sigmaIpi jest także poprawne i może wymagać co najwyżej dodatkowego wyjaśnienia (jeżeli ktoś ma wątpliwości dlaczego są takie a nie inne liczby).
Wyobraźmy sobie, że znając zasady doświadczenia spóźniliśmy się na jego rozpoczęcie i przybyliśmy po I losowaniu (i usunięciu kul wylosowanego koloru z urny). Od innego widza dowiadujemy się, że w I losowaniu nie wylosowano kuli niebieskiej (czyli dysponujemy dodatkową, istotną informacją). I teraz mamy odpowiedzieć jakie jest p-stwo wylosowania w II losowaniu kuli niebieskiej.
Oczywiście zależy to od wyniku I losowania, czyli musimy obliczyć jakie są odpowiednio p-stwa, że w I losowaniu wylosowano kulę czarną, białą lub zieloną. Wiemy, że nie wylosowano niebieskiej a to oznacza, że wylosowana pod naszą nieobecność kula z pewnością musiała być wylosowana spośród 15 pozostałych. A skoro wśród tych 15 było 9 czarnych, to .... (teraz chyba wiadomo skąd wzięło się rozwiązanie podane przez sigmaIpi?)

[Frey]

No tak rozwiązanie to jest w porządku. I faktycznie czytając 10 raz treść polecenia, to faktycznie tak trzeba to interpretować. Choć jak czytałem pierwszy raz to zadanie to miałem trochę inne wrażenie.