P-wo warunkowe - egzaminatorzy

[dex_18]

Jest 3 egzaminatorów, każdy z nich mówi prawdę z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ p}\). Dwóch egzaminatorów powiedziało, że egzamin jest do zdania, jeden zaś, że nie jest. Jakie jest prawdopodobieństwo, że egzamin jest do zdania?

[Althorion]

Hmm... Może nadmiernie trywializuję zadanie, ale nie widzę tutaj niczego warunkowego...

Żeby egzamin był do zdania, dwóch profesorów musi mieć rację, a trzeci musi się mylić, tak więc:
\(\displaystyle{ P(A) = p^2(1-p)}\)

[dex_18]

Robiłem tak samo, ale okazało się źle. Poprawna odp wynika z zastosowania p-wa warunkowego. Choć niezbyt to widzę..

[Althorion]

Rozumiem. Z tym, że dalej nie widzę tutaj niczego warunkowego. Co więcej, jestem pewny, że z treści zadania nijak nie wynika, żeby prawdomówność jednego profesora była zależna od prawdomówności innych.

[Qń]

Nie jest to powiedziane w zadaniu, a bez tej informacji zadania nie da się zrobić - przyjmijmy więc, że a priori prawdopodobieństwo, że egzamin będzie zdawalny jest równe temu, że egzamin będzie niezdawalny, czyli oba wynoszą \(\displaystyle{ \frac 12}\). Dopiero dodatkowa informacja od egzaminatorów powiększa naszą wiedzę.

Zanotujmy jeszcze, że \(\displaystyle{ p\in (0,1)}\) (gdyby \(\displaystyle{ p\in\{0,1\}}\) to każdy odpowiedziałby tak samo).

Oznaczmy zdarzenia:
\(\displaystyle{ T}\) - egzamin jest do zdania
\(\displaystyle{ N}\) - egzamin nie jest do zdania
\(\displaystyle{ D}\) - dwóch egzaminatorów mówi prawdę.

Szukamy prawdopodobieństwa zdarzenia \(\displaystyle{ P(T|D)}\). Ze wzoru Bayesa jest ono równe:
\(\displaystyle{ P(T|D)=\frac{P(D|T)\cdot P(T)}{P(D|T)\cdot P(T)+P(D|N)\cdot P(N)}}\)

W myśl poczynionej uwagi: \(\displaystyle{ P(T)=P(N)=\frac 12}\). Policzmy \(\displaystyle{ P(D|T)}\). Mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego - w każdej z trzech prób pytamy egzaminatora i za sukces uznajemy, jeśli powie prawdę. Tak więc \(\displaystyle{ P(D|T)}\) to prawdopodobieństwo, że w trzech próbach prawdę powiedziało dwóch, czyli \(\displaystyle{ {3 \choose 2}p^2(1-p)=3p^2(1-p)}\)

Analogicznie w przypadku \(\displaystyle{ P(D|N)}\) liczymy prawdopodobieństwo, że sukces będzie jeden, czyli jest ono równe \(\displaystyle{ {3 \choose 1}p(1-p)^2=3p(1-p)^2}\)

Mamy zatem:
\(\displaystyle{ P(T|D)=\frac{3p^2(1-p)\cdot \frac 12}{3p^2(1-p)\cdot \frac 12+3p(1-p)^2\cdot \frac 12}=p}\)

Q.