wyznaczenie dystrybuanty i gęstości zmiennej - trywialne

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
silencer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 16 mar 2007, o 08:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

wyznaczenie dystrybuanty i gęstości zmiennej - trywialne

Post autor: silencer »

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ <-1,2>}\). Znaleźć dystrybuantę i funkcję gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y=X^{2}}\).

Zadanie jest banalne, ale mam w nim pewien drobny problem, proszę pomóżcie.

\(\displaystyle{ F_{Y}(t) = P(X^{2} \le t) = P (-\sqrt{t}\le x\le\sqrt{t})=F_{x}(\sqrt{t})-F_{x}(-\sqrt{t})}\)

\(\displaystyle{ t < 0 \Rightarrow F_{Y}(t)=0}\), ponieważ \(\displaystyle{ P(X^{2}<0)=0}\)

pytanie brzmi co się dzieje potem, tzn. jak wyznaczyć przedziały dla \(\displaystyle{ t}\) ? Nasza zmienna \(\displaystyle{ Y}\)przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ <0,4>}\), więc załóżmy przedziały takie oto:

\(\displaystyle{ t \in <0,1> \Rightarrow F_{Y}(t)=F_{x}(\sqrt{t})-F_{x}(-\sqrt{t}) = \frac{1}{3}\sqrt{t}- \frac{1}{3}-(\frac{1}{3}(-\sqrt{t})+\frac{1}{3})= \frac{2}{3}\sqrt{t}}\)

tutaj musi nastąpić przedział \(\displaystyle{ t \in (1,4)}\). W tym przedziale \(\displaystyle{ F_{x}(-\sqrt{t})=0}\), ponieważ \(\displaystyle{ -\sqrt{t}}\) przyjmuje wartości z przedziału \(\displaystyle{ (-2,-1)}\), a \(\displaystyle{ X \in <-1,2>}\) - zgadza się?

tak więc:
\(\displaystyle{ t \in (1,4) \Rightarrow F_{Y}(t) = P(X^{2} \le t) = P (-\sqrt{t}\le x\le\sqrt{t})=F_{x}(\sqrt{t})-0= \frac{1}{3}\sqrt{t}- \frac{1}{3}}\) - zgadza się?
w swoich notatkach z zajęć mam tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{t} \in <1,2) \Rightarrow t \in <1,4)}\)
\(\displaystyle{ t \in (1,4) \Rightarrow F_{Y}(t) = P(X^{2} \le t) = P (-\sqrt{t}\le x\le\sqrt{t})=F_{x}(\sqrt{t})-0= \frac{1}{3}t- \frac{1}{3}}\) - nie wiem czemu zniknął nagle pierwiastek, wątpię żebym po prostu zapomniał go zapisać. Pomóżcie!
kaina87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 17 lis 2009, o 11:16
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: lodz
Pomógł: 3 razy

wyznaczenie dystrybuanty i gęstości zmiennej - trywialne

Post autor: kaina87 »

podstawowy blad
\(\displaystyle{ F_X(t)=\frac{1}{3}t+ \frac{1}{3}}\) dla \(\displaystyle{ t \in [-1,2]}\)
wiec dla
\(\displaystyle{ t \in [1,4] \Rightarrow F_{Y}(t) = P(X^{2} \le t) = P (-\sqrt{t}\le x\le\sqrt{t})=F_{x}(\sqrt{t})-0= \frac{1}{3}\sqrt{t}+ \frac{1}{3}}\)
sprawdzasz dla t=4 \(\displaystyle{ F_{Y}(4)= \frac{1}{3}\sqrt{4}+ \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1}\)
silencer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 16 mar 2007, o 08:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

wyznaczenie dystrybuanty i gęstości zmiennej - trywialne

Post autor: silencer »

Źle wycałkowane, wszystko jasne dziękuję.
ODPOWIEDZ