Jakie jest prawdopodobieństwo ustawienia tomów obok siebie

[Fatina]

Witam!
Przeszukałam kompedium, forum i mimo, iż znalazłam jakieś podobne zadanie, to odpowiedź nie była dla mnie jasna, więc napiszę z czym mam problem:

Zad.1.
Liczby 1, 2, 3, …, n zostały ustawione przypadkowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczby 7 i 8 ustawią się:
a) obok siebie - kolejność nie jest ważna
b) obok siebie w podanej kolejności

Zad.2.
Ustawiamy przypadkowo ponumerowanych "n" tomów książek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że tomy z numerami 3, 4, 5 ustawią się:
a) obok siebie - kolejność nie jest ważna
b) obok siebie w podanej kolejności

[mat_61]

Wskazówka:

1) wszystkich ustawień jest ...(?)
a) liczby 7 i 8 "związujemy" razem na ...(?) możliwe sposoby i traktujemy jak jeden element. Wszystkich elementów jest wtedy ...(?) i możemy je ustawić na ...(?) sposobów

b) analogicznie jak a) z tym, że liczby 7 i 8 są "związane" w określonej kolejności

2) analogicznie jak 1)

[Fatina]

Zad.1.
Liczby 1, 2, 3, …, n zostały ustawione przypadkowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że liczby 7 i 8 ustawią się:
a) obok siebie - kolejność nie jest ważna

\(\displaystyle{ #\Omega = n!}\)
Liczby 7 i 8 mogą się ustawić na 2! sposobów, a pozostałe wywnioskowałam że zostało ich n-2 więc możliwości (n-2)! - Mam rację czy się mylę?

\(\displaystyle{ |A| = 2!*(n-2)!}\)

zad.1.
b) obok siebie w podanej kolejności

jeśli "związuję" liczby 7 i 8 to potraktuję je jako jedną "liczbę" (ustawienie), wówczas pozostało mi liczb (n-1) które się ustawią na (n-1)! sposobów?

Proszę o instrukcje czy dobrze myślę.

[mat_61]

Liczby 7 i 8 mogą się ustawić na 2! sposobów, a pozostałe wywnioskowałam że zostało ich n-2 więc możliwości (n-2)! - Mam rację czy się mylę?

Skoro 7 i 8 tworzą, po ustawieniu na \(\displaystyle{ 2!}\) sposobów, jeden element, to zamiast dwóch elementów mamy jeden czyli teraz wszystkich elementów do ustawienia jest \(\displaystyle{ n-1}\).

Jest to analogiczne rozumowanie jak dla przykładu b) tylko tutaj jako jeden "podwójny element" mamy 78 lub 87 (stąd \(\displaystyle{ 2!}\)).

Reszta jest OK.

[Fatina]

OK, dziękuję, chyba zrozumiałam.

Czyli w zad. 2.
a) tomy 3,4,5 obok siebie w dowolnej kolejności:
|A| = 3!*(n-1)!, bo nie odejmuję sposobów na ile się ustawią tylko element-"związane liczby 3,4,5"

b) w podanej kolejności, czyli traktuję jako jedną możliwość
|A| = 1 *(n-1)!

Mam nadzieję, że teraz jest ok.

[mat_61]

Nie bardzo

Skoro zabieramy 3 elementy i "tworzymy" z nich 1, to ilość wszystkich elementów zmniejsza się o \(\displaystyle{ 3-1=2}\). Czyli we wzorach musisz zamienić \(\displaystyle{ (n-1)!}\) na \(\displaystyle{ (n-2)!}\)

Gdybyśmy np. wzięli 7 elementów i "związali" je razem, to teraz liczba elementów do ustawienia zmniejszyłaby się o 6 (bo zamiast pierwotnych 7 byłby 1 nowy)

[Fatina]

O rany... Ale to zagmatwane.

Uffff.... Po głębokiej analizie powyższych wskazówek doszłam do czegoś takiego:

Mam np. liczby 1,2,3,4,5,6,7,8,9, czyli 9 elementów (n=9). Mam ustawić je losowo tak, aby obok siebie stały liczby (w dowolnej kolejności) np. 4 i 5

Więc Z tych 9 elementów najpierw zabieram te 2 elementy (liczby: "4" i "5" )
Zostało mi 9-2=7 elementów
ALE z tych uprzednio zabranych 2 elementów tworzę jeden nowy, więc ostatecznie nie zabieram 2 elementów tylko jeden, więc zostanie 9-1=8 elementów?

na innym przykładzie: Mam n elementów (książek) - np. tomy 2,3,4,5 mają się ustawić obok siebie
Zabieram 4 elementy, ale tworzę z nich jeden nowy, więc ostatecznie zostaje (n-3) elementów, które się ustawią na (n-3)! sposobów.

[mat_61]

Właśnie tak.

[Fatina]

Bardzo dziękuję za wyjaśnienie.