Monotoniczność dystrybuanty

[Morusek]

Czy akceptowalny jest taki dowód tego że dystrybuanta jest funkcją niemalejącą?
Niech \(\displaystyle{ t_1, t_2 \in \mathbf{R}}\) takie, że \(\displaystyle{ t_1 < t_2}\). Pokażemy że \(\displaystyle{ F(t_1) \leq F(t_2)}\)
Badamy znak różnicy:
\(\displaystyle{ F(t_1) - F(t_2) = P(X \leq t_1) - P(X \leq t_2)}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ P(X \leq t_1) = P(\omega \in \Omega : X(\omega) \leq t_1) = P(A)}\)
oraz
\(\displaystyle{ P(X \leq t_2) = P(\omega \in \Omega : X(\omega) \leq t_2) = P(B)}\)
Otrzymujemy zatem
\(\displaystyle{ F(t_1) - F(t_2) = P(A) - P(B)}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ A \subset B}\)
to z monotoniczności prawdopodobieństwa (jako miary) mamy \(\displaystyle{ P(A) \leq P(B)}\) co ostatecznie daje że
\(\displaystyle{ F(t_1) - F(t_2) = P(A) - P(B) \leq 0}\)
Zatem \(\displaystyle{ F(t_1) - F(t_2) \leq 0}\) czyli \(\displaystyle{ F(t_1) \leq F(t_2)}\) co z dowolności \(\displaystyle{ t_1, t_2}\) oznacza że dystrybuanta jest funkcją niemalejącą.
?
Z góry dzięki.

[k_rakiej]

Dowód wydaje się dobry i poprawny, jest tylko dość długi. Zajrzyj tą stronę:
możne coś pomoże Ci uprościć.