Prawdopodobieństwo - pałeczki

[marios23]

Każdą z n jednakowej długości pałeczek podzielono na dwie części, przy czym żadne dwie części nie są tej samej długości. Otrzymane w ten sposób 2n części łączymy znowu w pary. Oblicz prawdopodobieństwo, że do każdej dłuższej części zostanie dołączona krótsza część.

Ja to robię tak lecz coś jest chyba źle.
moc Ω = \(\displaystyle{ {2n \choose 2} * {2n-2 \choose 2} * {2n-4 \choose 2} *...* {2 \choose 2} = \frac{2n*(2x-1)}{2} * \frac{(2n-2)*(2n-3)}{2} * ... * \frac{3*2}{2}}\)
- mamy tutaj n elementów więc Ω będzie równa \(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{ 2^{n} }}\).
Następnie układamy wszystkie krótkie pałeczki na dole i nad nimi układamy wszystkie długie pałeczki - będzie ich n, permutujemy długie pałeczki czyli będzie n! sposobów na utworzenie wszystkich grup.

Więc \(\displaystyle{ P(A)= \frac{n!* 2^{n} }{(2n)!}}\)
W czym jest błąd?

[irena_1]

Po podziale mamy 2n pałeczek. Wybieram jedną z nich- 2n możliwości. do niej dokładam drugą - (2n-1) możliwości. Biorę następną- (2n-2) i dokładam jedną z (2n-3) pozostałych. Zostało mi (2n-4), dokładam do jednej z nich jedną - (2n-5) możliwości. I tak dalej. Na końcu do jednej z dwu, które mi zostały dokładam ostatnią.
Czyli zbiór wszystkich takich par mogę utworzyć na (2n)! możliwości.
Stąd \(\displaystyle{ \overline{\overline{\Omega}} =(2n)!}\)

Teraz dopasowujemy "długa- krótka" lub "krótka- długa".
Ustawiam w rzędzie pałeczki długie- n! możliwości. Do każdego ustawienia dopasowuję rząd krótkich- n! możliwości. Ponieważ poprzednio brałam pod uwagę porządek, więc do każdej pary dokładam jej przestawienie. Stąd \(\displaystyle{ \overline{\overline{A}} =n!\cdot\ n!\cdot(2!)^n=2^n\cdot(n!)^2}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{2^n\cdot(n!)^2}{(2n)!}}\)

[marios23]

Ale dlaczego jest 2n! i "długa- krótka" lub "krótka- długa" skoro to są zbiory dwuelementowe a nie ciągi. Nie ważna jest kolejność.

[irena_1]

Brałam pod uwagę (tak wyliczałam) kolejność przy liczeniu mocy zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\), więc przy liczeniu mocy zbioru A też muszę brać pod uwagę kolejność...-- 31 sty 2011, o 16:35 --Może tak:
Wszystkich możliwości połączenia części tych pałeczek w pary jest \(\displaystyle{ (2n-1)(2n-3)\cdot...\cdot3\cdot1}\). (Każdej części można przypasować jedną z części pozostałych.)
Połączeń takich, w których pałeczkom dłuższym przypasujemy krótsze jest n!.

Więc \(\displaystyle{ P(A)=\frac{n!}{(2n-1)(2n-3)(2n-5)\cdot...\cdot3\cdot1}}\)

Co prawda mój wynik wygląda inaczej, niż ten podany w odpowiedzi poprzednio. Ale jeśli pomnożymy licznik i mianownik tego, co otrzymałam w rozwiązaniu, przez wszystkie liczby parzyste od 2 do 2n, czyli przez:
\(\displaystyle{ 2\cdot4\cdot6\cdot...\cdot(2n-4)(2n-2)\cdot2n=2^n\cdot(1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot(n-1)\cdot\ n)=2^n\cdot\ n!}\),
to otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{n!\cdot2^n\cdot\ n!}{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot(2n-3)(2n-2)(2n-1)\cdot2n}=\frac{2^n\cdot(n!)^2}{(2n)!}}\)

[mat_61]

Ja to robię tak lecz coś jest chyba źle.
moc Ω = \(\displaystyle{ {2n \choose 2} * {2n-2 \choose 2} * {2n-4 \choose 2} *...* {2 \choose 2} = \frac{2n*(2x-1)}{2} * \frac{(2n-2)*(2n-3)}{2} * ... * \frac{3*2}{2}}\)
- mamy tutaj n elementów więc Ω będzie równa \(\displaystyle{ \frac{(2n)!}{ 2^{n} }}\).
......
W czym jest błąd?

Błąd jest w tym, że licząc moc zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\) w podany sposób nie uwzględniasz tego, że wybrane pary są nierozróżnialne między sobą (niezależnie od tego, że nie jest jak piszesz istotna kolejność elementów stanowiących parę). Zobacz jak wyglądałoby to np. dla 8 elementów. Wg Twojego sposobu liczenia wybieramy "kolejne dwójki" stanowiące parę, czyli możemy np. wybrać tak:

\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ 2;3\right\} \ \left\{ 1;4\right\} \ \left\{ 5;6\right\} \ \left\{ 7;8\right\} \right\}}\)

Ale możemy też wybrać tak:

\(\displaystyle{ \left\{ \left\{ 7;8\right\} \ \left\{ 1;4\right\} \ \left\{ 5;6\right\} \ \left\{ 2;3\right\} \right\}}\)

Widzisz, że wybrane pary są takie same choć u Ciebie liczone są jako inne.

Czyli obliczoną przez Ciebie ilość możliwości należy podzielić przez ilość permutacji powstałych zbiorów, czyli \(\displaystyle{ n!}\)

W tym wątku możesz sobie poczytać o podziale zbioru na inne zbiory (rozróżnialne lub nie): https://www.matematyka.pl/230511.htm