Handlowiec kupuje jakiś podzielny towar po stałej cenie \(\displaystyle{ c}\) zł za jednostkę i sprzedaje po stałej cenie \(\displaystyle{ s}\) zł za jednostkę, gdzie \(\displaystyle{ s>c}\). Załóżmy, że popyt \(\displaystyle{ Y}\) jest zmienną losową typu ciągłego z dystrybuantą \(\displaystyle{ F}\) oraz gęstością \(\displaystyle{ f}\) ciągłą i dodatnią na przedziale \(\displaystyle{ \left(0, \infty \right)}\). Zysk handlowca jest różnicą między wpływem ze sprzedaży a wydatkiem na zakup towaru (nie sprzedany towar traci na wartości i jest wyrzucany). Ile towaru powinien on zamówić, aby jego przeciętny zysk był największy?
Rozwiązanie.
\(\displaystyle{ Z}\) - zmienna losowa zysku
\(\displaystyle{ x}\) - ilość zamówionego towaru
\(\displaystyle{ Z=s \cdot min\left( Y,x\right) -cx}\)
Moje pierwsze pytanie dotyczy wyznaczenia wartości oczekiwanej zysku. Robię tak:
\(\displaystyle{ Z=\begin{cases}sY-cx,\qquad Y<x\\sx-cx,\qquad x<Y\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ EZ=\begin{cases}sEY-cx,\qquad Y<x\\sx-cx,\qquad x<Y\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ EZ=\left( sEY-cx\right) \int_{0}^{x}f\left( y\right)dy +\left( sx-cx\right)\int_{x}^ \infty f\left( y\right)dy=\\=sEY\int_{0}^{x}f\left( y\right)dy-cx\int_{0}^{x}f\left( y\right)dy+sx\int_{x}^ \infty f\left( y\right)dy-cx\int_{x}^ \infty f\left( y\right)dy=\\=sEY\int_{0}^{x}f\left( y\right)dy+sx\int_{x}^ \infty f\left( y\right)dy-cx.}\)
Jeśli to jest dobrze, to co dalej z pierwszym składnikiem sumy? Powinien mieć postać \(\displaystyle{ s\int_{0}^{x}yf\left( y\right)dy}\).