warunkowa wartość oczekiwana
-
ddawidd
- Użytkownik
- Posty: 91
- Rejestracja: 22 mar 2007, o 18:59
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
warunkowa wartość oczekiwana
Niech \(\displaystyle{ (X,Y)\sim \mathcal{N}(0,I)}\) gdzie \(\displaystyle{ I}\) jest macierzą jednostkową. Obliczyć \(\displaystyle{ E(X|X^2+Y^2)}\).
warunkowa wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ \left( X,Y\right) \sim f(x,y)}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ (U,V)=H(X,Y)}\) wtedy \(\displaystyle{ (U,V) \sim f(X(U,V),Y(U,V)) \left| \frac{\partial(X,Y) }{\partial(U,V) } \right|}\)
Niech Teraz:
\(\displaystyle{ x=rcos (\alpha)}\)
\(\displaystyle{ y=rsin( \alpha )}\)
Wtedy nasze nowe Zmienne \(\displaystyle{ (R, \alpha ) \sim r \cdot \frac{1}{2 \pi } e^{ \frac{- r^{2} }{2} }\chi _{(0,+ \infty )}(r)\chi_{(0,2 \pi )}( \alpha )}\)
Zauważmy że nasza gęstość faktoryzuje się na gęstości brzegowe
\(\displaystyle{ \alpha \sim \frac{1}{2 \pi }\chi_{(0,2 \pi )}( \alpha )}\)
\(\displaystyle{ R \sim r \cdot e^{ \frac{- r^{2} }{2} }\chi _{(0,+ \infty )}}\)
co świadczy o niezależności \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\).
Więc teraz korzystając bezpośrednio z własności WWO \(\displaystyle{ E[X|X^2+Y^2]=E[Rcos( \alpha )|R^2]=R \cdot E[cos( \alpha )|R^2]=R \cdot E[cos( \alpha )]=0}\)
Jeżeli \(\displaystyle{ (U,V)=H(X,Y)}\) wtedy \(\displaystyle{ (U,V) \sim f(X(U,V),Y(U,V)) \left| \frac{\partial(X,Y) }{\partial(U,V) } \right|}\)
Niech Teraz:
\(\displaystyle{ x=rcos (\alpha)}\)
\(\displaystyle{ y=rsin( \alpha )}\)
Wtedy nasze nowe Zmienne \(\displaystyle{ (R, \alpha ) \sim r \cdot \frac{1}{2 \pi } e^{ \frac{- r^{2} }{2} }\chi _{(0,+ \infty )}(r)\chi_{(0,2 \pi )}( \alpha )}\)
Zauważmy że nasza gęstość faktoryzuje się na gęstości brzegowe
\(\displaystyle{ \alpha \sim \frac{1}{2 \pi }\chi_{(0,2 \pi )}( \alpha )}\)
\(\displaystyle{ R \sim r \cdot e^{ \frac{- r^{2} }{2} }\chi _{(0,+ \infty )}}\)
co świadczy o niezależności \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ \alpha}\).
Więc teraz korzystając bezpośrednio z własności WWO \(\displaystyle{ E[X|X^2+Y^2]=E[Rcos( \alpha )|R^2]=R \cdot E[cos( \alpha )|R^2]=R \cdot E[cos( \alpha )]=0}\)