warunkowa wartość oczekiwana

[ddawidd]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne i mają ten sam rozkład całkowalny. Znależć \(\displaystyle{ E(X|X+Y)}\).

[kuch2r]

Rozważ:
\(\displaystyle{ E(X+Y|X+Y)=E(X|X+Y)+E(Y|X+Y)}\)
Ponadto, zauważ, że na podstawie twoich założeń zachodzi
\(\displaystyle{ E(X|X+Y)=E(Y|X+Y)}\)
Wówczas
\(\displaystyle{ X+Y=E(X+Y|X+Y)=2E(X|X+Y)}\)
Ostatecznie
\(\displaystyle{ E(X|X+Y)=\frac{X+Y}{2}}\)

[slavert]

Ponadto, zauważ, że na podstawie twoich założeń zachodzi
\(\displaystyle{ E(X|X+Y)=E(Y|X+Y)}\)

Ja nie rozumiem skąd to wynika. Czy wystarczy tu że X i Y mają ten sam rozkład, czy też potrzebne jest tu założenie o niezależności.

[Lider Artur]

ten sam rozkład