prawdopodobieństwo zdarzeń - udowodnij

[Majki]

a wiec tak treść brzmi tak:
jezeli wiadomo, że:
\(\displaystyle{ A\cup B\cup C=\Omega}\)
\(\displaystyle{ P(B)=2P(A)}\)
\(\displaystyle{ P(C)=3P(A)}\)
\(\displaystyle{ P(A\cap B)=P(A\cap C)=P(B\cap C)}\)
udowodnij ze
\(\displaystyle{ \frac{1}{6}\leq P(A)\leq\frac{1}{4}}\)

zna ktos moze rozwiązanie ? ??:

[abrasax]

\(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)}\)
wyjaśnienie wzoru tutaj

Po wykorzystaniu warunków zadania zostaje:
\(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=6P(A) -3P(A \cap B) + P(A \cap B \cap C)}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ A \cup B \cup C=\Omega}\) to: \(\displaystyle{ P(A \cup B \cup C)=1}\)

\(\displaystyle{ P(A)=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}P(A \cap B) - \frac{1}{6}P(A \cap B \cap C)}\)

1) \(\displaystyle{ (A \cap B \cap C) (A \cap B)}\), z tego \(\displaystyle{ P(A \cap B \cap C ) q P(A \cap B)}\)

\(\displaystyle{ P(A) q \frac{1}{6}+\frac{1}{2}P(A \cap B \cap C) - \frac{1}{6}P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{6}+\frac{1}{3}P(A \cap B \cap C) q \frac{1}{6}}\)

2) \(\displaystyle{ (A \cap B ) A}\), z tego \(\displaystyle{ P(A \cap B) q P(A)}\)

\(\displaystyle{ P(A) q \frac{1}{6}+\frac{1}{2}P(A \cap B) - \frac{1}{6}P(A \cap B)= \frac{1}{6}+\frac{1}{3}P(A)}\)

\(\displaystyle{ P(A) q \frac{1}{6}+\frac{1}{3}P(A)}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{3}P(A) q \frac{1}{6}}\)
\(\displaystyle{ P(A) q \frac{1}{4}}\)

[Majki]

wielkie dzieki za pomoc skąd ten wzór na sume 3 zdarzen to wiem próbowałem to jakos chwycic tylko dalej mi cos nie szło