Zadania prawdopodobieństo+kombinatoryka

[Paulina-Anna]

Czy mógłby mi ktoś pomóc z tymi zadaniami?

1. Cztery przyjaciółki chcą sprawdzić, w jakie dni tygodnia wypadają w tym roku ich uodziny. Jaki jest prawdopodobieństwo, że:
a)wszystkie będą obchodzily urodziny w tym samym dniu tygodnia, (1/343)
b)będą obchodziły urodziny w różne dni tygodnia, (120/343)
c)tylko trzy z nich będą obchodziły urodziny w tym samym dniu tygodnia. (24/343)

2. Załóżmy, że w każdym dniu roku rodzi się tyle samo osób i żadna z rozważanych osób nie urodziła się 29 lutego. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a)dwie losowo wybrane osoby obchodzą urodziny tego samego dnia roku, (1/365)
b)każda z trzech losowo wybranych osób obchodzi urodziny innego dnia, (ok. 0,99)
c)wśród trzech losowo wybranych osób co najmniej dwie obchodzą urodziny tego samego dnia. (ok. 0,01)

3. Rzucamy pięcioma kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w jednym rzucie pojawią się tylko dwie różne liczby oczek, jedna na trzech kostkach, a druga na dwóch pozostałych? (5/1296)

Wiem, że w przykładzie 2c trzeba rozważyć zdarzenie do niego przeciwne.

Bardzo proszę o wytłumaczenie tych zadań. Nie jest to praca domowa, a bardzo mi zależy na tym, żeby zrozumieć tego typu zadania, bo w marcu biorę udział w konkursie, a prawdopodobieństwo będziemy mieli dopiero w trzeciej klasie.

[mat_61]

Znasz jakieś podstawy z kombinatoryki i p-stwa? Bez tego trudno będzie niektóre rzeczy wytłumaczyć.

[Paulina-Anna]

Znam, znam. Robiłam już trochę zadań z prawdopodobieństwa i z wykorzystaniem kombinatoryki. Mam właśnie problem z tymi trudniejszymi.

[mat_61]

Wskazówka:

1a)
P-stwo obchodzenia urodzin w wybranym dniu tygodnia wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{7}}\).

P-stwo obchodzenia urodzin w wybranym dniu tygodnia przez 4 osoby wynosi \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{7}\right) ^{4}}\).

Różnych możliwych dni urodzin mamy do wyboru 7.

P-stwo zdarzenia, że 4 wybrane osoby urodziły się w tym samym dniu tygodnia wynosi więc:

\(\displaystyle{ P(A)= \left( \frac{1}{7} \right) ^{4} \cdot 7= \frac{1}{343}}\)

2a)
Analogicznie jak 1a) z tym, że rozpatrujemy nie 7 możliwych dni urodzin, ale 365.

P-stwo obchodzenia urodzin w wybranym dniu roku wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{365}}\).

P-stwo obchodzenia urodzin w wybranym dniu roku przez 2 osoby wynosi \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{365}\right) ^{2}}\).

Różnych możliwych dni urodzin mamy do wyboru 365.

P-stwo zdarzenia, że 2 wybrane osoby urodziły się w tym samym dniu roku wynosi więc:

\(\displaystyle{ P(A)= \left( \frac{1}{365} \right) ^{2} \cdot 365= \frac{1}{365}}\)

Spróbuj zrobić sama pozostałe przykłady.

--------------------------------------------------------------------------

3) Skąd jest to zadanie i odpowiedź do niego?

Pytam dlatego bo wg mnie jest niepoprawna.

W obliczeniach ilości wszystkich zdarzeń elementarnych założona jest rozróżnialność kostek (i wg mnie powinna być) - wariacje z powtórzeniami, natomiast w obliczeniach ilości zdarzeń sprzyjających założona jest nierozróżnialność kostek (i to jest wg mnie źle) - dowolna liczba z 6 na trzech kostkach i dowolna z pięciu pozostałych na dwóch kostkach. Daje to wynik:

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{6 \cdot 5}{6^{5}} = \frac{5}{1296}}\) - i to jest wg mnie źle.

Tutaj jest szersze wyjaśnienie: https://www.matematyka.pl/224654.htm#p833433 - post 5 gru 2010, o 09:55

[Paulina-Anna]

To zadanie jest ze starego zbioru dla kandydatów na wyższe uczelnie. Też robiłam to zadanie przestrzeń zdarzeń wyszła mi taka sama, tylko gorzej było ze zdarzeniami sprzyjającymi.
Odpowiedź może być błędna. Zdarza się.
Dziękuje za wyjaśnienie.

[mat_61]

To zadanie jest ze starego zbioru dla kandydatów na wyższe uczelnie. Też robiłam to zadanie przestrzeń zdarzeń wyszła mi taka sama, tylko gorzej było ze zdarzeniami sprzyjającymi.

Zdarzenia sprzyjające to oczywiście wszystkie możliwe różnoelementowe pary (trójka + dwójka) i tych jest oczywiście \(\displaystyle{ 6 \cdot 5}\) , ale pomnożone przez permutacje z powtórzeniami dla tych wybranych elementów, czyli: \(\displaystyle{ \frac{5!}{3! \cdot 2!} =10}\). Tym samym moc zbioru A to \(\displaystyle{ 300}\) a nie \(\displaystyle{ 30}\).

Np. dla dwóch trójek i trzech jedynek mamy nie taki - jeden możliwy - wynik rzutu:

\(\displaystyle{ \left\{ 3;3;1;1;1\right\}}\)

tylko 10 różnych możliwych wyników:

\(\displaystyle{ \left( 3;3;1;1;1\right)}\)

\(\displaystyle{ \left( 3;1;3;1;1\right)}\)

\(\displaystyle{ \left( 3;1;1;3;1\right)}\)

itd.

Jeżeli chodzi o pozostałe przykłady, to możesz oczywiście spytać jak będziesz miała jakieś problemy w trakcie rozwiązywania lub ewentualnie możesz napisać całe rozwiązanie do sprawdzenia.

[Paulina-Anna]

Dziękuję. Wszystko już rozumiem