Losowanie z k-próby n-elementów bez zwracania

[apocalyptiq]

Niby banalne zadanie, a szukam po necie, samemu próbuje rozwiązać, i wzoru nie mogę znaleść...

Mianowicie: podać wzór na prawdopodobieństwo wylosowania ustalonego elementu ze zbioru n-elementowego do próby k-elementowej bez zwracania (no bo ze zwracaniem to po prostu k/n). Jaki jest na to wzór?

Ilość wszystkich zdarzeń to symbol newtona, ale jak wyznaczyć ilość zdarzeń sprzyjających?

[kropka+]

Nie wiem o co Ci chodzi, ale poczytaj o schemacie Bernoulliego.

[apocalyptiq]

Mam n elementów, losuje k elementów bez zwracania, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych jest ten jeden, który rozpatrujemy.

Czyli np. mam zbiór elementów {1,2,3,4,5,6} i losuje z niego 2 elementy bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pośród nich będzie cyfra 3? Na to właśnie mam podać wzór.

[kropka+]

\(\displaystyle{ P(A)= \frac{5}{ {6 \choose 2} }= \frac{1}{3}}\)

W liczniku jest 5, bo nasze 3 może być wylosowane w parze z jedną z 5-ciu pozostałych liczb.

[apocalyptiq]

A co w przypadku, jak losujemy 3 elementy? wtedy według tego rozumowania byłoby 5/(6 3), czyli 1/4, a prawidłowe prawdopodobieństwo wynosi tu 1/2

[kropka+]

Według tego rozumowania jest:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{ {5 \choose 2} }{ {6 \choose 3} }= \frac{1}{2}}\)

[apocalyptiq]

Czyli ogólny wzór przybierze postać:
\(\displaystyle{ P(A)= \frac{ {n-1 \choose k-1} }{ {n \choose k} }}\)
Tak?

[kropka+]

Jeżeli jest tylko 1 interesujący nas element w n-elementowym zbiorze, z którego losujemy jednorazowo k elementów to taki jest wzór ogólny.

[apocalyptiq]

Dzięki