Słaba zbieżność miar na prostej

[fon_nojman]

Określmy miary na prostej

\(\displaystyle{ \mu_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\delta_{\frac{n-i}{n}},}\)

gdzie \(\displaystyle{ \delta_x}\) to miara Diraca skupiona w punkcie \(\displaystyle{ x.}\)
Zbadać słabą zbieżność ciągu \(\displaystyle{ (\mu_n).}\)

Wydaje się, że będzie zbiegał do miary Lebesgue'a na \(\displaystyle{ [0,1]}\) ale nie mam pomysłu jak to ugryźć.

[Wasilewski]

Jest taki fakt, że słaba zbieżność ciągu miar Radona \(\displaystyle{ \mu_{n}}\) do miary \(\displaystyle{ \mu}\) jest równoważna warunkowi (\(\displaystyle{ U}\)-zbiór otwarty):
\(\displaystyle{ \liminf_{n\to \infty} \mu_{n}(U) \ge \mu(U)}\).
A że zbiory otwarte na prostej to przeliczalne sumy przedziałów, to wystarczy sprawdzić tę nierówność dla jednego przedziału, co nie powinno być trudne (ale nie sprawdzałem).

[fon_nojman]

Elegancko wychodzi dla przedziałów o końcach wymiernych i to już chyba wystarczy

[Wasilewski]

To ja jeszcze może trochę rozwinę. Żeby z nierówności dla jednego przedziału przejść do nierówności dla dowolnego zbioru otwartego wypada jeszcze skorzystać z lematu Fatou.
Swoją drogą, to nie wiem, czy korzystasz z tej samej definicji słabej zbieżności miar, co ja. W każdym razie ja znam taką: ciąg \(\displaystyle{ \mu_{n}}\) miar Radona (w tym przypadku na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)) jest słabo zbieżny do miary \(\displaystyle{ \mu}\), jeśli dla dowolnej \(\displaystyle{ f\in C_{c}(\mathbb{R})}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \int f d\mu_{n} = \int f d\mu}\).
No to w naszym przypadku wystarczy sobie przypomnieć, że istnieje takie coś jak całka Riemanna.

[fon_nojman]

Ciężko, nie widzę jak zastosować tu Lemat Fatou.

Przez słabą zbieżność miar probabilistycznych \(\displaystyle{ \mu_n \Rightarrow \mu}\) rozumiem zbieżność całek Lebesgue'a

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \int f d\mu_n= \int f d\mu}\)

dla dowolnych ciągłych, ograniczonych funkcji \(\displaystyle{ f.}\)

W tym zadaniu miary będą określone na \(\displaystyle{ Borel(\mathbb{R}).}\)

Wydaje mi się, że używasz tej samej tylko nigdy się nie spotkałem z taką dla miar Radona.

\(\displaystyle{ C_{c}(\mathbb{R})}\) to funkcje ciągłe, ograniczone jak u mnie?

[Wasilewski]

\(\displaystyle{ C_{c}(\mathbb{R})}\) to ciągłe o zwartym nośniku, ale w tym przypadku na pewno nie ma różnicy. Po prostu jest tak, że przestrzeń sprzężona do \(\displaystyle{ C_{c}(\mathbb{R})}\) to miary Radona, stąd z taką definicją się spotkałem.
Jeśli chodzi o ten lemat Fatou, to chodziło mi o coś takiego: Niech \(\displaystyle{ U}\) będzie zbiorem otwartym, to znaczy, że zapisuje się jako rozłączna suma przedziałów:
\(\displaystyle{ U = \bigcup_{m=1}^{\infty} A_{m}}\).
Oznaczmy \(\displaystyle{ a_{nm} = \mu_{n}(A_{m})}\). Wtedy mamy następujący ciąg nierówności:
\(\displaystyle{ \mu(U) = \sum_{m=1}^{\infty} \mu(A_{m}) \le \sum_{m=1}^{\infty} \liminf_{n\to \infty} a_{nm} \le \liminf_{n\to \infty} \sum_{m=1}^{\infty} a_{nm} = \liminf_{n\to \infty} \mu_{n}(U)}\),
gdzie po drodze stosuję lemat Fatou dla miary liczącej.

[fon_nojman]

Dzięki, wszystko jasne.