Zmienna losowa typu ciągłego ma kształt jak na rysunku:
Uploaded with
1) jakie \(\displaystyle{ a}\), żeby była to funkcja gęstości,
2) \(\displaystyle{ EX}\),
3) \(\displaystyle{ VarX}\)?
Z góry dziękuję i życzę zdrowych, spokojnych Świąt:)
Funkcja gęstości
-
szw1710
Funkcja gęstości
Pole tego trójkąta musi wynosić 1, więc \(\displaystyle{ a=2}\). Oznaczmy tę funkcję gęstości przez \(\displaystyle{ f}\). Mamy więc
\(\displaystyle{ f(x)=2x\quad \text{dla }x\in [0,1]}\)
oraz
\(\displaystyle{ f(x)=0}\) poza przedziałem \(\displaystyle{ [0,1]}\).
Stąd
\(\displaystyle{ EX=\int_0^1xf(x)dx=\int_0^12x^2dx=\frac{2}{3}}\).
Dalej
\(\displaystyle{ E(X^2)=\int_0^1x^2f(x)dx=\int_0^12x^3dx=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \text{Var}(X)=E(X^2)-(EX)^2=\frac{1}{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{18}}\).
\(\displaystyle{ f(x)=2x\quad \text{dla }x\in [0,1]}\)
oraz
\(\displaystyle{ f(x)=0}\) poza przedziałem \(\displaystyle{ [0,1]}\).
Stąd
\(\displaystyle{ EX=\int_0^1xf(x)dx=\int_0^12x^2dx=\frac{2}{3}}\).
Dalej
\(\displaystyle{ E(X^2)=\int_0^1x^2f(x)dx=\int_0^12x^3dx=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \text{Var}(X)=E(X^2)-(EX)^2=\frac{1}{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{1}{18}}\).