Tw. Poissona- zastosowanie w zadaniach

Hatcher · Post autor: **Hatcher** » 21 gru 2010, o 19:10

Zad 1.
\(\displaystyle{ 60%}\) osób należących do kadry kierowniczej firmy kończy pomyślnie specjalistyczne szkolenie. Jeżeli firma pośle na to szkolenie \(\displaystyle{ 28}\) osób, jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej połowa z nich pomyślnie ukończy szkolenie?

Zad 2.
Prawdopodobieństwo wyprodukowanie wadliwego urządzenia wynosi \(\displaystyle{ 0,05}\). Ile urządzenie powinna wyprodukować firma, aby z prawdopodobieństwem równym co najmniej \(\displaystyle{ 0,9}\) przynajmniej \(\displaystyle{ 100}\) spośród nich nie było wadliwych?

Ad zad 1.
\(\displaystyle{ n=28}\)
sukces- pracownik wysłany na szkolenie kończy pomyślnie je.
\(\displaystyle{ p=0,6}\)
\(\displaystyle{ P(S_{28} \ge 14)}\)-prawdopodobieństwo , że co najmniej połowa pracowników ukończy pomyślnie szkolenie

W tym zadaniu nie możemy zastosować CTG ani tw. Poissona, więc trzeba na piechotę liczyć. Czy dobrze myślę?

Ad zad 2.
n- liczba wyprodukowanych urządzeń (Założenia: \(\displaystyle{ n \ge 100 \wedge n\in \mathbb{N}_ +}\))
sukces- wylosowane urządzenia nie jest wadliwe
\(\displaystyle{ p=0,95}\)

\(\displaystyle{ P(S_n > 99)>0,9 \iff 1-P(S_n \le 99)>0,9 \iff P(S_n \le 99)<0,1 \iff P(\frac{S_n-np}{\sqrt{npq}} \le \frac{99-np}{\sqrt{npq}}) <0,1 \iff \Phi(\frac{99-np}{\sqrt{npq}})<0,1}\)

I nie wiem co dalej bo nie znajdę takiego argumentu, żeby dystrybuanta rozkładu normalnego była mniejsze od 0,1, coś źle zrobiłem po drodze tylko nie wiem co...?

Bardzo proszę o pomoc.

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 22 gru 2010, o 22:03

Zad 1.

Dlaczego nie możesz stosować ?

Zad 2.

Wraz ze wzrostem próbki prawdopodobieństwo rośnie. Szukamy najmniejszego n spełniającego dane warunki dlatego możemy bez straty ogólności rozwiązywać równanie:

\(\displaystyle{ P(S_n \ge 100)=0,9 \iff 1-P(S_n < 100)=0,9 \iff \\
P(S_n < 100)=0,1 \iff P(\frac{S_n-np}{\sqrt{npq}} < \frac{100-np}{\sqrt{npq}}) =0,1 \iff \\ \Phi(\frac{100-np}{\sqrt{npq}})=0,1 \iff \frac{100-np}{\sqrt{npq}} = \Phi^{-1}(0.1)}\)

Otrzymujemy równanie kwadratowe.

\(\displaystyle{ \frac{100-n\cdot 0.95}{\sqrt{n\cdot 0.95\cdot 0.05}} = -1.28}\)

Hatcher · Post autor: **Hatcher** » 23 gru 2010, o 22:10

a w pierwszym źle się wyraziłem możemy stosować CTG i Twierdzenie Poissona ale nie przybliża w miarę dokładnie szukanego przez nas prawdopodobieństwa, dlatego lepiej liczyć na piechotę, jeśli zależy nam na dokładności ? Dobrze myślę?

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 23 gru 2010, o 22:57

No tak, ale na kolosie/ egzaminie bym się tym nie przejmował tylko stosował CTG, bo w normalnej sytuacji, normalny człowiek powinien to liczyć przy użyciu komputera

Hatcher · Post autor: **Hatcher** » 24 gru 2010, o 11:51

dzięki wielkie. Pozdrawiam.