Matematyka.pl

Dla jakiej wartości parametru c funkcja

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, 0\leq x \leq c\\0, p.p\end{cases}}\)

jest gęstością prawdopodobieństwa w zmiennej losowej X. Obliczyć wartość oczekiwaną i modę.

Obliczyłem ten przykład (nie wiem czy dobrze).
Wyszło mi, że

\(\displaystyle{ c = 2}\)

\(\displaystyle{ EX = \frac{8}{6}}\)

A moda ile tutaj wynosi?

Należy obliczyć pochodną z \(\displaystyle{ (\frac{x}{2})'}\) to jest \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

I co dalej?

Znasz definicję mody dla rozkładu ciągłego? W jakim celu liczysz pochodną? Reszta jest dobrze policzona.

Zagalopowałem się.

OK, nie liczy się pochodną. Ale nadal nie wiem jaka będzie moda. Z definicji wiem, że jest to ekstremum lokalne. Ale czy tu takie istnieje?

Nie do końca jest to ekstremum lokalne, jest to odcięta, w której funkcja gęstości osiąga wartość największa. Narysuj sobie wykres funkcji gęstości, wtedy będzie Ci łatwo to odczytać.

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x}\) w przedziale \(\displaystyle{ 0 \le x \le 2}\) to jest dla \(\displaystyle{ x = 2}\)

O to chodzi?

Zgadza się.