1.W urnie jest dziesięć kul czarnych i jedna biała. Losujemy jedną kulę i zwracamy ją do urny razem z dziewięcioma kulami o tym samym kolorze co wylosowana kula. Następnie z urny losujemy ponownie jedną kulę. Gdy obie wylosowane z urny kule będą białe, wygrywamy 10 zł, a gdy obie będą różnych kolorów, wygrywamy 1 zł. W pozostałych przypadkach płacimy 2 zł. Sprawdzić, czy gra ta jest sprawiedliwa, tzn. czy wartość oczekiwana wygranej równa się zeru.
2.W urnie są trzy czarne kule i jedna biała. Losujemy kolejno i bez zwrotu kule, aż do momentu wyciągnięcia kuli białej. Niech X oznacza liczbę wyciągniętych kul. Obliczyć EX.
3.Rzucamy trzy razy symetryczną kostką do gry. Jeżeli wypadnie k razy parzysta liczba oczek, to wygrywamy 2k złotych, gdzie k = 0, 1, 2, 3. Ile powinna wynosić opłata za grę, aby gra była sprawiedliwa, tzn. wartość oczekiwana wygranej była równa zeru.
4.W pudełku jest 15 losów pustych, 4 losy wygrywające 1 zł i jeden los wygrywający 100 zł. Ciągniemy kolejno i bez zwrotu dwa losy. Niech X oznacza wygraną przypadającą na pierwszy los, Y zaś wygraną przy-padającą na drugi los. Obliczyć E(X + Y).
5.Krupier rzuca symetryczną monetą do chwili, gdy wypadnie orzeł. Gdy orzeł wypadnie w k-tym rzucie, krupier wypłaca 2* zł, ale gdy orzeł nie wypadnie po sześciu rzutach, gracz płaci S zł i gra się kończy. Ile powinna wynosić opłata S, aby gra była sprawiedliwa?
zmienna losowa 5 zadan
-
pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
zmienna losowa 5 zadan
1. Najpierw prawdopodobieństwa zdarzeń:
\(\displaystyle{ P(Iczarna,IIczarna)=\frac{10}{11}\cdot\frac{19}{20}\\
P(Iczarna,IIbiala)=\frac{10}{11}\cdot\frac{1}{20}\\
P(Ibiala,II czarna)=\frac{1}{11}\cdot\frac{10}{20}\\
P(Ibiala,II biala)=\frac{1}{11}\cdot\frac{1}{2}}\)
Teraz zmienna losowa X:
\(\displaystyle{ P(X=-2)=\frac{190}{220}=19/22\\
P(X=1)=\frac{10}{220}+\frac{10}{220}=\frac{20}{220}=20/22\\
P(X=20)=\frac{10}{220}=1/22}\)
No i teraz wartość oczekiwana czyli:
\(\displaystyle{ -2\cdot \frac{19}{22}+...}\)
-- 20 gru 2010, o 20:43 --
2.
\(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{1}{4}\\
P(X=2)=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=1/4\\
P(X=3)=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=1/4\\
P(X=4)=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=1/4\\
E(X)=(1+2+3+4)/4}\)
\(\displaystyle{ P(Iczarna,IIczarna)=\frac{10}{11}\cdot\frac{19}{20}\\
P(Iczarna,IIbiala)=\frac{10}{11}\cdot\frac{1}{20}\\
P(Ibiala,II czarna)=\frac{1}{11}\cdot\frac{10}{20}\\
P(Ibiala,II biala)=\frac{1}{11}\cdot\frac{1}{2}}\)
Teraz zmienna losowa X:
\(\displaystyle{ P(X=-2)=\frac{190}{220}=19/22\\
P(X=1)=\frac{10}{220}+\frac{10}{220}=\frac{20}{220}=20/22\\
P(X=20)=\frac{10}{220}=1/22}\)
No i teraz wartość oczekiwana czyli:
\(\displaystyle{ -2\cdot \frac{19}{22}+...}\)
-- 20 gru 2010, o 20:43 --
2.
\(\displaystyle{ P(X=1)=\frac{1}{4}\\
P(X=2)=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{3}=1/4\\
P(X=3)=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=1/4\\
P(X=4)=\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=1/4\\
E(X)=(1+2+3+4)/4}\)